Решение: применим теорему Остроградского-Гаусса для расчета распределения электрического поля, создаваемого равномерно заряжен-ной с поверхностной плотностью σ, бесконечной плоскостью в диэлектрике. Согласно теореме Остроградского-Гаусса поток вектора электрическо-го смещения (электической индукции) поля через замкнутую поверхность пропорционален заряду, заключенному в ней:
\[ \oint _{S}\vec{D}\cdot d\vec{S} =Q. \]
Учитывая, что вектор электрического смещения равен
\[ \vec{D}=\varepsilon _{0} \cdot \varepsilon \cdot \vec{E}. \]
Здесь ε0=8,85•10-12 Ф/м – электрическая постоянная, ε – диэлектрическая проницаемость (для вакуума ε = 1 – вне плоскостей по условию)
Для расчета интеграла по поверхности необходимо выбрать удоб-ную поверхность интегрирования. В данном случае, исходя из симметрии задачи, таковой будет являться поверхность в виде цилиндра. Одно осно-вание этого цилиндра поместим справа от плоскости, второе слева от нее (см. рис.) На основаниях цилиндра вектор напряженности электрического поля E будет сонаправлен с вектором dS перпендикулярным к поверхности, и модуль будет постоянным на всех точках оснований. На боковой поверхности цилиндра вектор E будет перпендикулярен вектору нормали к поверхности и скалярное произведение векторов E∙dS на этой поверхности будет равно нулю. Тогда интеграл
\[ \begin{array}{l} {\oint _{S}\varepsilon _{0} \cdot \varepsilon \cdot \vec{E}\cdot d\vec{S} =\varepsilon _{0} \cdot \varepsilon \cdot E\cdot S+\varepsilon _{0} \cdot \varepsilon \cdot E\cdot S=2\cdot \varepsilon _{0} \cdot \varepsilon \cdot E\cdot S=Q,} \\ {E=\frac{Q}{2\cdot \varepsilon _{0} \cdot S} =\frac{\sigma }{2\cdot \varepsilon _{0} \cdot \varepsilon } .} \end{array} \]
Учтено, что поверхностная плотность σ = Q/S.
Применяя полученный результат, и принцип суперпозиции полей для указанной системы плоскостей (первая имеет положительный заряд, вторая - отрицательный) в области I получим:
\[ E_{I} =\left|E_{2} \right|-\left|E_{1} \right|=\frac{\left|\sigma _{2} \right|}{2\cdot \varepsilon _{0} } -\frac{\left|\sigma _{1} \right|}{2\cdot \varepsilon _{0} } =\frac{\left|\sigma _{2} \right|-\left|\sigma _{1} \right|}{2\cdot \varepsilon _{0} } =\frac{7\cdot 10^{-8} -4\cdot 10^{-8} }{2\cdot 8,85\cdot 10^{-12} } =1,69\cdot 10^{3} . \]
Т.е. EI = 1,7 кВ/м, напряжённость направлена в положительном направлении оси x.
Для области II:
\[ E_{II} =\left|E_{1} \right|+\left|E_{2} \right|=\frac{\left|\sigma _{1} \right|+\left|\sigma _{2} \right|}{2\cdot \varepsilon _{0} \cdot \varepsilon } =\frac{4\cdot 10^{-8} +7\cdot 10^{-8} }{2\cdot 8,85\cdot 10^{-12} \cdot 6} =1,04\cdot 10^{3}. \]
Т.е. EII = 1,0 кВ/м, учли диэлектрик, направлена в положительном направлении оси x.
Для области III:
\[ E_{III} =\left|E_{1} \right|-\left|E_{2} \right|=\frac{\left|\sigma _{1} \right|-\left|\sigma _{2} \right|}{2\cdot \varepsilon _{0} } =\frac{4\cdot 10^{-8} -7\cdot 10^{-8} }{2\cdot 8,85\cdot 10^{-12} } =-1,7\cdot 10^{3}. \]
Т.е. EIII = – 1,7 кВ/м, знак минус означает, что напряжённость направлена против положительного направления оси x.
