Решение.
Заряженная частица прошла ускоряющую разность потенциалов, определим скорость которую будет иметь частица при влете в однородное магнитное поле:
\[ \begin{align}
& \Delta \varphi =\frac{A}{q},\ A=\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}-\frac{m\cdot {{\upsilon }_{0}}^{2}}{2},\ {{\upsilon }_{0}}=0,\ \Delta \varphi =\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{q\cdot 2}, \\
& {{\upsilon }^{2}}=\frac{2\cdot \Delta \varphi \cdot q}{m}\ \ \ (1). \\
\end{align} \]
В результате суперпозиции двух движений заряженная частица будет двигаться по винтовой линии радиусом
R и шагом винта
h. Скорость разложим на две составляющие: υ
Y, параллельную линиям индукции магнитного поля и, υ
х перпендикулярную им:
\[ {{\upsilon }^{2}}=\upsilon _{X}^{2}+\upsilon _{Y}^{2}\ \ \ (2). \]
На заряженную частицу действует сила Лоренца, и сила Лоренца является центростремительной силой, выразим скорость частицы относительно оси
Ох.
\[ \begin{align}
& {{F}_{L}}=q\cdot B\cdot {{\upsilon }_{x}},\ {{F}_{L}}=m\cdot a,\ a=\frac{\upsilon _{x}^{2}}{R},q\cdot B\cdot \upsilon \ =m\cdot \frac{\upsilon _{x}^{2}}{R}, \\
& {{\upsilon }_{x}}=\frac{q\cdot B\cdot R}{m}\ \ \ (3). \\
\end{align}
\]
Из этих формул также получаем формулу радиуса заряженной частицы и время одного оборота:
\[ R=\frac{m\cdot {{\upsilon }_{x}}}{q\cdot B},\ T=\frac{2\cdot \pi \cdot R}{{{\upsilon }_{x}}},\ T=\frac{2\cdot \pi \cdot m}{q\cdot B}\ \ \ (4). \]
Вдоль силовых линий поля магнитная сила не действует, поэтому частица движется прямолинейно с постоянной скоростью.
\[ {{\upsilon }_{Y}}=\frac{h}{T},\ {{\upsilon }_{Y}}=\frac{h\cdot q\cdot B}{2\cdot \pi \cdot m}\ \ \ (5). \]
(1) (3) и (5) подставим в (2) выразим радиус электрона.
\[ \begin{align}
& {{\upsilon }^{2}}={{(\frac{q\cdot B\cdot R}{m})}^{2}}+{{(\frac{h\cdot q\cdot B}{2\cdot \pi \cdot m})}^{2}},\ \frac{2\cdot q\cdot \Delta \varphi }{m}={{(\frac{q\cdot B\cdot R}{m})}^{2}}+{{(\frac{h\cdot q\cdot B}{2\cdot \pi \cdot m})}^{2}}, \\
& 2\cdot \Delta \varphi =\frac{q}{m}\cdot {{(B\cdot R)}^{2}}+\frac{q}{m}\cdot {{(\frac{h\cdot B}{2\cdot \pi })}^{2}},\ \frac{q}{m}\cdot {{(B\cdot R)}^{2}}=2\cdot \Delta \varphi -\frac{q}{m}\cdot {{(\frac{h\cdot B}{2\cdot \pi })}^{2}}, \\
& R=\sqrt{\frac{2\cdot \Delta \varphi \cdot m}{q\cdot {{B}^{2}}}-\frac{{{h}^{2}}}{4\cdot {{\pi }^{2}}}}\ \ \ \ (3). \\
\end{align} \]
Где:
q – модуль заряда электрона,
q = 1,6∙10
-19 Кл,
m – масса электрона,
m = 9,1∙10
-31 кг.
R = 1,76 мм.
