Решение.
Масса альфа-частицы в четыре раза больше массы протона, ион атома гелия однозарядный, заряд иона альфа-частицы равен заряду протона:
mα = 4∙mр, qα = qр (1).
Протон и альфа-частица, ускоренные одинаковой разностью потенциалов, запишем формулы для нахождения скорости протона и альфа-частицы:
\[ \begin{align}
& \Delta \varphi =\frac{A}{q},\ A=\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}-\frac{m\cdot {{\upsilon }_{0}}^{2}}{2},\ {{\upsilon }_{0}}=0,\ \Delta \varphi =\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{q\cdot 2}, \\
& {{\upsilon }^{2}}=\frac{2\cdot \Delta \varphi \cdot q}{m}\ \ \ (1).\ \ {{\upsilon }_{p}}=\sqrt{\frac{2\cdot {{q}_{p}}\cdot \Delta \varphi }{{{m}_{p}}}}\ \ \ (2),\ {{\upsilon }_{\alpha }}=\sqrt{\frac{2\cdot {{q}_{\alpha }}\cdot \Delta \varphi }{{{m}_{\alpha }}}}\ \ \ (3). \\
\end{align} \]
На заряженные частицы действует сила Лоренца, и сила Лоренца является центростремительной силой. Запишем формулы для нахождения радиусов протона и альфа-частицы которые движутся в магнитном поле:
\[ {{F}_{L}}=q\cdot B\cdot \upsilon ,\ {{F}_{L}}=m\cdot a,\ a=\frac{\upsilon _{{}}^{2}}{R},q\cdot B\cdot \upsilon \ =m\cdot \frac{\upsilon _{{}}^{2}}{R},R=\frac{m\cdot \upsilon }{q\cdot B},\ {{R}_{p}}=\frac{{{m}_{p}}\cdot {{\upsilon }_{p}}}{{{q}_{p}}\cdot B}\ \ \ (4),\ {{R}_{\alpha }}=\frac{{{m}_{\alpha }}\cdot {{\upsilon }_{\alpha }}}{{{q}_{\alpha }}\cdot B}\ \ \ (5). \]
Найдем отношение радиуса протона к радиусу альфа-частицы:
\[ \frac{{{R}_{p}}}{{{R}_{\alpha }}}=\frac{{{m}_{p}}\cdot {{\upsilon }_{p}}\cdot {{q}_{\alpha }}\cdot B}{{{q}_{p}}\cdot B\cdot {{m}_{\alpha }}\cdot {{\upsilon }_{\alpha }}}\ \ \ (6). \]
Подставим (2) и (3) в (6) найдем отношение радиуса протона к радиусу альфа-частицы:
\[ \frac{{{R}_{p}}}{{{R}_{\alpha }}}=\frac{{{m}_{p}}\cdot {{q}_{p}}\cdot \sqrt{\frac{2\cdot {{q}_{p}}\cdot \Delta \varphi }{{{m}_{p}}}}}{{{q}_{p}}\cdot 4\cdot {{m}_{p}}\cdot \sqrt{\frac{2\cdot {{q}_{p}}\cdot \Delta \varphi }{4\cdot {{m}_{p}}}}}=\frac{1}{2}. \]
Ответ: 1/2.
