Вступительный экзамен июнь 2015 года

[alsak]

9. Вариант 1. Планета представляет собой однородный шар радиуса 6,4∙10⁶ м, плотность которого 3500 кг/м³. Определите скорость искусственного спутника планеты, движущегося по круговой орбите радиуса 1,9·10⁷ м. Объем шара V = 4/3π∙R³.

9. Вариант 2. Спутник движется вокруг некоторой планеты по круговой орбите радиуса 1,2·10⁷ м со скоростью 5 км/с. Определите среднюю плотность планеты, если ее радиус 6,4·10⁶ м. Объем шара V = 4/3π∙R³.

Решение. Скорость ИС и масса планеты равны
\[\upsilon =\sqrt{G\cdot \frac{M_{p} }{r} } ,\; \; M_{p} =\rho \cdot V_{p} =\rho \cdot \frac{4}{3} \pi \cdot R^{3} ,\]
где r — радиус орбиты спутника, R — радиус планеты. Тогда
1 Вариант.
\[\upsilon =\sqrt{\frac{G}{r} \cdot \rho \cdot \frac{4}{3} \pi \cdot R^{3} } ,\]
υ = 3672 м/с = 3,7 км/с.
Ответ. 3,7 км/с.

2 Вариант.
\[\upsilon ^{2} =G\cdot \frac{M_{p} }{r} =\frac{G}{r} \cdot \rho \cdot \frac{4}{3} \pi \cdot R^{3} ,\, \, \, \rho =\frac{3r\cdot \upsilon ^{2} }{4\pi \cdot G\cdot R^{3} } ,\]
ρ = 4098 кг/м³.
Ответ. 4098 кг/м³.

[alsak]

10. Вариант 1. Конькобежец массой 60 кг, стоя на коньках на льду, бросает в горизонтальном направлении мяч массой 0,8 кг со скоростью 15 м/с. На какое расстояние откатится при этом конькобежец, если коэффициент трения коньков о лед μ = 0,01?

Решение. Найдем скорость υ₂, которую получит конькобежец массой M после броска мяча массой m. Для этого воспользуемся законом сохранения импульса для системы конькобежец-мяч: вначале система покоилась, суммарный импульс равен нулю, затем части системы начали двигаться (рис. 1). Запишем закон сохранения импульса:
\[0=m\cdot \vec{\upsilon }+M\cdot \vec{\upsilon }_{2} ,\]
\[0X:\; \; 0=m\cdot \upsilon +M\cdot \upsilon _{2x} ,\; \; \upsilon _{2x} =-\frac{m\cdot \upsilon }{M} \]
 (знак «–» показывает, что конькобежец будет двигаться против оси 0Х).
На конькобежца действуют сила тяжести (M⋅g), сила реакции опоры (N), сила трения скольжения (F_t) (рис. 2). Из второго закона Ньютона:
\[\begin{array}{c} {M\cdot \vec{a}=\vec{N}+M\cdot \vec{g}+\vec{F}_{t} ,} \\ {0X:\; \; -M\cdot a=-F_{t} ,\; \; \; 0Y:\; \; 0=N-M\cdot g,} \end{array}\]
где F_t = μ⋅N = μ∙M∙g. Тогда
\[M\cdot a=\mu \cdot M\cdot g,\; \; a=\mu \cdot g.\]
Пройденный путь (расстояние) l найдем из уравнения проекции перемещения,  где υ_3х = 0, т.к. автомобиль остановился, Δr_х = l, а_х = –а (см. рис. 2). Тогда
\[\Delta r_{x} =\frac{\upsilon _{3x}^{2} -\upsilon _{2x}^{2} }{2a_{x} } ,\; \; l=\frac{\upsilon _{2}^{2} }{2a} =\left(\frac{m\cdot \upsilon }{M} \right)^{2} \cdot \frac{1}{2\mu \cdot g} ,\]
l = 0,2 м.
Ответ. 20 см.

[alsak]

10. Вариант 2. Тело массой 990 г лежит на горизонтальной поверхности. В него попадает пуля, летящая горизонтально со скоростью 600 м/с, и застревает в нем. Масса пули равна 10 г. Какой путь пройдет тело до остановки, если коэффициент трения между телом и поверхностью равен 0,05?

Решение. Задачу можно разбить на три части.
1 часть — удар. Так как пуля застревает в теле, то удар абсолютно не упругий. Поэтому в момент удара выполняется закон сохранения импульса, а закон сохранения энергии не выполняется. Обозначим массу и скорость пули m₁ и υ₁, массу тела — m₂. Найдем из закона сохранения импульса скорость тела с пулей после удара (рис. 1):
\[m_{1} \cdot \vec{\upsilon }_{1} =\left(m_{1} +m_{2} \right)\cdot \vec{\upsilon },\]
\[0X:\; \; \; m_{1} \cdot \upsilon _{1} =\left(m_{1} +m_{2} \right)\cdot \upsilon ,\; \; \upsilon =\frac{m_{1} \cdot \upsilon _{1} }{m_{1} +m_{2} } ,\]
υ = 7 м/с.

2 часть — ускорение тела. Найдем ускорение тела с пулей. На тело действуют сила тяжести (m∙g = (m₁ + m₂)∙g), сила реакции опоры (N) и сила трения скольжения (F_tr) (рис. 2). Из второго закона Ньютона:
\[\begin{array}{c} {m\cdot \vec{a}=\vec{N}+m\cdot \vec{g}+\vec{F}_{tr} ,} \\ {0X:\; \; -m\cdot a=-F_{tr} ,\; \; \; 0Y:\; \; 0=N-m\cdot g,} \end{array}\]
где F_tr = μ⋅N = μ∙m∙g. Тогда
\[m\cdot a=\mu \cdot m\cdot g,\; \; a=\mu \cdot g.\]

3 часть — путь тела. Путь тела будет равен его перемещению. Учтем, что υ₂ = 0 — конечная скорость тела. Тогда (см. рис. 2)
\[s=\Delta r_{x} =\frac{\upsilon _{2x}^{2} -\upsilon _{x}^{2} }{2a_{x} } =\frac{-\upsilon _{x}^{2} }{-2a} =\frac{\upsilon ^{2} }{2a} =\frac{1}{2\mu \cdot g} \cdot \left(\frac{m_{1} \cdot \upsilon _{1} }{m_{1} +m_{2} } \right)^{2} ,\]
 s = 36 м.
Ответ. 36 м.