ЦТ 2015

[Евгений Ливянт]

В задаче было сказано, что при каждом ударе теряется 19% кинетической энергии. Решение с маятником я предложил по аналогии с задачей, где маятник находится в горизонтальном "лифте", который движется с постоянным ускорением.

[alsak]

Размышляя над задачей, пришел к выводу, что anat прав. Вначале скорость шарика будет возрастать, но при этом возрастают и потери энергии. И в какой-то момент времени вся работа поля будет уходить на компенсацию потерь и разность скоростей у пластин станет постоянной. Попробую позже это описать формулами.

Не думаю, что можно воспользоваться формулой колебания математического маятника, так как колебания не гармонические. В гармонических колебаниях ускорение изменяется по синусу, а в этой задаче оно постоянное.

Все же это колебательное движение, положение равновесие системы при угле отклонения близком к 3,8°. Если бы не было пластин, то можно было бы применять формулу колебаний (при известной длине маятника).
Из-за ударов о пластины и очень длинном маятнике у нас получается только кусочки колебательного движения вблизи амплитудных точек.

[anat]

Все же это колебательное движение, положение равновесие системы при угле отклонения близком к 3,8°. Если бы не было пластин, то можно было бы применять формулу колебаний (при известной длине маятника).
Из-за ударов о пластины и очень длинном маятнике у нас получается только кусочки колебательного движения вблизи амплитудных точек.

Есть такая задача у Капельяна, где шарик прыгает. Необходимо определить период прыжков, если потерями энергии пренебречь. Здесь что-то похожее.

[alsak]

2 вариант решения.
В какой-то момент времени вся работа электрического поля пойдет на компенсацию потерь при ударе и скорость перестанет увеличиваться, т.е. если υ₂ — это скорость шарика перед ударом о пластину, то
\[\eta \cdot \frac{m\cdot \upsilon _{2}^{2} }{2} =q\cdot E\cdot d,\; \; \upsilon _{2} =\sqrt{\frac{2q\cdot E\cdot d}{\eta \cdot m} } \]
 (υ₂ = 0,5263 м/с).
Начальная скорость υ₁ (скорость отскока шарика)
\[\left(1-\eta \right)\cdot \frac{m\cdot \upsilon _{2}^{2} }{2} =\frac{m\cdot \upsilon _{1}^{2} }{2} ,\; \; \upsilon _{1} =\sqrt{\left(1-\eta \right)\cdot \upsilon _{2}^{2} } =\sqrt{\left(1-\eta \right)\cdot \frac{2q\cdot E\cdot d}{\eta \cdot m} } \]
 (υ₁ = 0,4737 м/с).
Зная пройденное расстояние d, ускорение a и начальную скорость υ₁, можно найти время прохождения этого расстояния t₁. Тогда период T можно найти так:
\[d=\upsilon _{1} \cdot t_{1} +\frac{a\cdot t_{1}^{2} }{2} ,\; \; t_{1}^{2} +\frac{2\upsilon _{1} }{a} \cdot t_{1} -\frac{2d}{a} =0,\]
\[t_{1} =-\frac{\upsilon _{1} }{a} \pm \sqrt{\left(\frac{\upsilon _{1} }{a} \right)^{2} +\frac{2d}{a} } =-\sqrt{\frac{\left(1-\eta \right)\cdot 2m\cdot d}{\eta \cdot q\cdot E} } \pm \sqrt{\frac{\left(1-\eta \right)\cdot 2m\cdot d}{\eta \cdot q\cdot E} +\frac{2m\cdot d}{q\cdot E} } =\pm \sqrt{\frac{2m\cdot d}{\eta \cdot q\cdot E} } \cdot \left(1 \mp \sqrt{1-\eta } \right).\]
Так как t₁ > 0, то
\[T=2t_{1} =2\cdot \sqrt{\frac{2m\cdot d}{\eta \cdot q\cdot E} } \cdot \left(1-\sqrt{1-\eta } \right),\]
T = 0,16 с = 160 мс.

[anat]

2 вариант решения.
В какой-то момент времени вся работа электрического поля пойдет на компенсацию потерь при ударе и скорость перестанет увеличиваться, т.е. если υ₂ — это скорость шарика перед ударом о пластину, то
\[\eta \cdot \frac{m\cdot \upsilon _{2}^{2} }{2} =q\cdot E\cdot d,\; \; \upsilon _{2} =\sqrt{\frac{2q\cdot E\cdot d}{\eta \cdot m} } \]
 (υ₂ = 0,5263 м/с).
Начальная скорость υ₁ (скорость отскока шарика)
\[\left(1-\eta \right)\cdot \frac{m\cdot \upsilon _{2}^{2} }{2} =\frac{m\cdot \upsilon _{1}^{2} }{2} ,\; \; \upsilon _{1} =\sqrt{\left(1-\eta \right)\cdot \upsilon _{2}^{2} } =\sqrt{\left(1-\eta \right)\cdot \frac{2q\cdot E\cdot d}{\eta \cdot m} } \]
 (υ₁ = 0,4737 м/с).
Зная пройденное расстояние d, ускорение a и начальную скорость υ₁, можно найти время прохождения этого расстояния t₁. Тогда период T можно найти так:
\[d=\upsilon _{1} \cdot t_{1} +\frac{a\cdot t_{1}^{2} }{2} ,\; \; t_{1}^{2} +\frac{2\upsilon _{1} }{a} \cdot t_{1} -\frac{2d}{a} =0,\]
\[t_{1} =-\frac{\upsilon _{1} }{a} \pm \sqrt{\left(\frac{\upsilon _{1} }{a} \right)^{2} +\frac{2d}{a} } =-\sqrt{\frac{\left(1-\eta \right)\cdot 2m\cdot d}{\eta \cdot q\cdot E} } \pm \sqrt{\frac{\left(1-\eta \right)\cdot 2m\cdot d}{\eta \cdot q\cdot E} +\frac{2m\cdot d}{q\cdot E} } =\pm \sqrt{\frac{2m\cdot d}{\eta \cdot q\cdot E} } \cdot \left(1 \mp \sqrt{1-\eta } \right).\]
Так как t₁ > 0, то
\[T=2t_{1} =2\cdot \sqrt{\frac{2m\cdot d}{\eta \cdot q\cdot E} } \cdot \left(1-\sqrt{1-\eta } \right),\]
T = 0,16 с = 160 мс.

Хорошее решение и хороший ответ. Я, кстати, все же ошибся в своем решении. У меня, как Вы и предполагали, ε = 1-η. Тогда ответы совпадают.

[Alecs]

Фразы "при установившемся движении"  не было.
Точно было сказано, что при каждом ударе шарик теряет 19% кинетической энергии.
Жалею, что не вынес точного условия, а запоминал как изложение и нацарапал дано на калькуляторе.

[ella]

Согласна с последним решением Саши Саковича. Мне кажется разумным принять момент установления периода при условии компенсации потерь энергии работой поля.

[Евгений Ливянт]

Уверен, что это именно то решение, которое является правильным по мнению авторов задачи. Осталось понять "неправильность" решения с помощью законов колебательного движения. Дело в том, что горизонтальное ускорение маятника значительно меньше ускорения свободного падения, нить длинная, в условии ничего не сказано о пренебрежении силой тяжести (это точно). Давайте разберёмся в причинах того, что законы колебательного движения в решении этой задачи не нужны.

[alsak]

Осталось понять "неправильность" решения с помощью законов колебательного движения. Дело в том, что горизонтальное ускорение маятника значительно меньше ускорения свободного падения, нить длинная, в условии ничего не сказано о пренебрежении силой тяжести (это точно). Давайте разберёмся в причинах того, что законы колебательного движения в решении этой задачи не нужны.

На мой взгляд, здесь законы колебательного движения можно применять, но это усложняет решение. План решения будет примерно такой:
1. Необходимо установить значения установившихся скоростей сразу же после удара и перед ударом. Сделать это законами колебательного движения не возможно.
2. Зная начальную скорость движения найти начальную фазу колебания и составить уравнение колебательного движения.
3. Зная конечную скорость, определить время t₁ достижения этой скорости.
4. Период будет в 2 раза больше t₁.
На выполнение п. 2 и 3 потребуется времени значительно больше, чем в приведенных выше способах.

[alsak]

В условиях ЦТ 2015 года заметил такие ошибки:
А7. Пропущено уточнение, что масса газа не меняется.
А11. На рисунке изображены ... две эквипотенциальные поверхности ... Понятие "эквипотенциальная поверхность" не входит ни в школьную программу , ни в программу ЦТ.