Репетиционное тестирование 1 этап 2015/2016

[Сергей]

В2. Вариант 1. Тело массой m = 1,0 кг движется по горизонтальной поверхности вдоль оси Ох. Кинематический закон движения тела имеет вид: х(t) = А + В∙t + С∙t², где А = 7,0 м, В = 5,0 м/с, С = 1,0 м/с². Если коэффициент трения скольжения между телом и поверхностью μ = 0,20, то работа А, совершённая горизонтально направленной силой тяги за промежуток времени t₁ = 3,0 с от момента начала отсчёта времени, равна ... Дж.
Решение. Работа совершённая горизонтально направленной силой тяги за промежуток времени t₁ = 3,0 с от момента начала отсчёта времени определяется по формуле:

А = F∙s∙соsα, α = 0º, соsα = 1, А = F∙s   (1).

s – перемещение за это время.

s = х – х₀   (2).

х₀ = А, х₀ = 7,0 м.

х(t) = А + В∙t + С∙t², х(t) = 7,0 + 5,0∙t + 1,0∙t²,
х(3) = 7,0 + 5,0∙3 + 1,0∙3₂ = 31,0 (м).
s = 31,0 – 7,0 = 24,0 м.

Силу тяги определим используя второй закон Ньютона. Покажем на рисунке силы которые действуют на тело и ускорение, определим проекции на оси Ох и Оу.

\[ \vec{F}=m\cdot \vec{a},\ \vec{F}+m\cdot \vec{g}+\vec{N}+{{\vec{F}}_{TR}}=m\cdot \vec{a}. \]

\[ \begin{align}
  & Ox:\ \ F-{{F}_{TR}}=m\cdot a\ \ \ (3), \\
 & Oy:\ N-m\cdot g=0\ ,\ N=m\cdot g\ \ \ (4). \\
\end{align} \]

Учитываем, что:

F_TR = μ∙N   (5).

При движении по горизонтальной поверхности ускорение равно а = С∙2, а = 2,0 м/с².
Подставим (4) в (5), (5) в (3) выразим силу тяги. Силу тяги и перемещение подставим в (1) определим работу.

\[ \begin{align}
  & {{F}_{TR}}=\mu \cdot m\cdot g,\ F-\mu \cdot m\cdot g=m\cdot a,\ F=\mu \cdot m\cdot g+m\cdot a,\ A=m\cdot (\mu \cdot g+a)\cdot s. \\
 & A=1,0\cdot (0,2\cdot 10+2,0)\cdot 24,0=96,0. \\
\end{align} \]

Ответ: 96 Дж.

[Сергей]

В3. Вариант 1. Небольшой металлический шарик, подвешенный на нерастяжимой и невесомой нити, движется равномерно по окружности в горизонтальной плоскости. Если во время движения шарика нить образует с вертикалью угол α = 30° а период вращения шарика Т = 2,1 с, то длина l нити равна … дм.
Решение. Покажем на рисунке силы которые действуют на тело и ускорение, определим проекции на оси Ох и Оу.

\[ \vec{F}=m\cdot \vec{a},\ m\cdot \vec{g}+{{\vec{F}}_{n}}=m\cdot \vec{a}. \]

\[ \begin{align}
  & Ox:\ \ {{F}_{n}}\cdot \sin \alpha =m\cdot a\ \ \ (1), \\
 & Oy:\ {{F}_{n}}\cdot \cos \alpha -m\cdot g=0\ ,\ {{F}_{n}}=\frac{m\cdot g}{\cos \alpha }\ \ \ (2). \\
 & \ a=\frac{4\cdot {{\pi }^{2}}\cdot R}{{{T}^{2}}}\ \ \ (3),\ R=l\cdot \sin \alpha \ \ \ (4),\ \frac{m\cdot g\cdot \sin \alpha }{\cos \alpha }=m\cdot a,\ \frac{g\cdot \sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{4\cdot {{\pi }^{2}}\cdot l\cdot \sin \alpha }{{{T}^{2}}}, \\
 & \frac{g}{\cos \alpha }=\frac{4\cdot {{\pi }^{2}}\cdot l}{{{T}^{2}}},\ l=\frac{{{T}^{2}}\cdot g}{4\cdot {{\pi }^{2}}\cdot \cos \alpha }. \\
 & l=\frac{2,1\cdot 2,1\cdot 10}{4\cdot 3,14\cdot 3,14\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=1,29. \\
\end{align} \]

Ответ: 13 дм.

[Сергей]

В4. Вариант 1. Лёгкий шарик падает на гладкую горизонтальную плиту, движущуюся вертикально вниз, и после упругого удара отскакивает от неё Кинетическая энергия шарика сразу после удара Е_к2 = 13 Дж. Если непосредственно перед ударом угол между направлением скорости шарика и вертикалью α = 30º, а сразу после удара β = 45°, то кинетическая энергия Е_к1 шарика непосредственно перед ударом была равна … Дж.
Решение. Покажем рисунок. Запишем закон сохранения импульса в проекции на ось Ох, направленную горизонтально:

\[ \begin{align}
  & m\cdot {{\upsilon }_{1}}\cdot \sin \alpha =m\cdot {{\upsilon }_{2}}\cdot \sin \beta ,\ {{\upsilon }_{1}}\cdot \sin \alpha ={{\upsilon }_{2}}\cdot \sin \beta ,\ {{\upsilon }_{1}}=\frac{{{\upsilon }_{2}}\cdot \sin \beta }{\sin \alpha }\ \ \ (1),\  \\
 & {{E}_{k2}}=\frac{m\cdot \upsilon _{2}^{2}}{2},\ {{\upsilon }_{2}}=\sqrt{\frac{2\cdot {{E}_{k2}}}{m}}\ \ \ \ (2),\ {{\upsilon }_{1}}=\sqrt{\frac{2\cdot {{E}_{k2}}}{m}}\cdot \frac{\sin \beta }{\sin \alpha }\ \ \ \ (3), \\
 & {{E}_{k1}}=\frac{m\cdot \upsilon _{1}^{2}}{2}\ \ \ (4),\  \\
 & {{E}_{k1}}=\frac{m}{2}\cdot {{(\sqrt{\frac{2\cdot {{E}_{k2}}}{m}}\cdot \frac{\sin \beta }{\sin \alpha })}^{2}}=\frac{m}{2}\cdot \frac{2\cdot {{E}_{k2}}}{m}\cdot {{(\frac{\sin \beta }{\sin \alpha })}^{2}}={{E}_{k2}}\cdot {{(\frac{\sin \beta }{\sin \alpha })}^{2}}. \\
\end{align} \]

\[ {{E}_{k1}}=13\cdot {{(\frac{\sqrt{2}\cdot 2}{2\cdot 1})}^{2}}=13\cdot 2=26. \]

Ответ: 26 Дж.

[Сергей]

В 5. Вариант 1. Закрытый сосуд объёмом V = 69 см³ имеет небольшую трещину, через которую за сутки в него поступает ∆N = 5,0∙10¹⁸ молекул идеального газа. Температура газа в сосуде поддерживается постоянной Т = 300 К. Если начальное давление газа в сосуде равно нулю, а скорость поступления молекул в него постоянна, то сосуд заполнится газом до давления р = 6,0∙10³ Па за промежуток времени ∆t, равный ... сут.
Решение.
Определим количество молекул, которые будут находиться в сосуде при достижении указанного давления.

\[ \begin{align}
  & p=n\cdot k\cdot T,\ n=\frac{N}{V},\ p=\frac{N}{V}\cdot k\cdot T,\ N=\frac{p\cdot V}{k\cdot T}. \\
 & N=\frac{6,0\cdot {{10}^{3}}\cdot 69\cdot {{10}^{-6}}}{1,38\cdot {{10}^{-23}}\cdot 300}=1,0\cdot {{10}^{20}}. \\
\end{align} \]

Составим пропорцию и определим количество суток за которые сосуд заполнится идеальным газом.

\[ \frac{\Delta N}{N}=\frac{1,0}{t},\ t=\frac{N\cdot 1,0}{\Delta N},\ t=\frac{1,0\cdot {{10}^{20}}\cdot 1,0}{5,0\cdot {{10}^{18}}}=20.
 \]

Ответ: 20 сут.

[Сергей]

В6. Вариант 1. На рисунке приведён график зависимости температуры t тела (с = 1000 Дж/(кг∙ºС)) от количества теплоты Q , которое отводилось от тела. Масса m тела равна … г.
Решение.

\[ Q=c\cdot m\cdot ({{t}_{2}}-{{t}_{1}}),\ m=\left| \frac{Q}{c\cdot ({{t}_{2}}-{{t}_{1}})} \right|.\ m=\left| \frac{100}{{{10}^{3}}\cdot (5-10)} \right|=0,02. \]

Ответ: 20 г.

[Сергей]

В7. Вариант 1. Идеальный одноатомный газ, количество вещества которого постоянно, находится под давлением р₁ = 0,20 МПа. Газ нагревают сначала изобарно до объёма V₂ = 50 л, а затем продолжают нагревать изохорно до давления р₂ = 0,40 МПа. Если при переходе из начального состояния в конечное состояние газ получил количество теплоты Q = 25кДж, то его объём V₁ в начальном состоянии равен … л.
Решение.
Покажем данные процессы в координатах р – V.
Q₁₂ – количество теплоты которое получает газ при изобарном процессе.
Q₂₃ – количество теплоты которое получает газ при изохорном нагревании.

\[ \begin{align}
  & Q={{Q}_{12}}+{{Q}_{23}},\ \ \ \ (1),\ {{Q}_{12}}=\frac{5}{2}\cdot A,\ {{Q}_{12}}=\frac{5}{2}\cdot {{p}_{1}}\cdot ({{V}_{2}}-{{V}_{1}})\ \ \ (2),\ {{Q}_{23}}=\Delta {{U}_{23}}\ \ \ (3), \\
 & \Delta {{U}_{23}}=\frac{3}{2}\cdot \nu \cdot R\cdot ({{T}_{3}}-{{T}_{2}}),\ p\cdot V=\nu \cdot R\cdot T,\ {{T}_{2}}=\frac{{{p}_{1}}\cdot {{V}_{2}}}{\nu \cdot R},\ {{T}_{3}}=\frac{{{p}_{2}}\cdot {{V}_{2}}}{\nu \cdot R}, \\
 & {{Q}_{23}}=\frac{3}{2}\cdot \nu \cdot R\cdot (\frac{{{p}_{2}}\cdot {{V}_{2}}}{\nu \cdot R}-\frac{{{p}_{1}}\cdot {{V}_{2}}}{\nu \cdot R}),\ {{Q}_{23}}=\frac{3}{2}\cdot {{V}_{2}}\cdot ({{p}_{2}}-{{p}_{1}})\ \ \ (4). \\
\end{align} \]

\[ \begin{align}
  & Q=\frac{5}{2}\cdot {{p}_{1}}\cdot ({{V}_{2}}-{{V}_{1}})+\frac{3}{2}\cdot {{V}_{2}}\cdot ({{p}_{2}}-{{p}_{1}}),\ {{V}_{1}}={{V}_{2}}-\frac{Q-\frac{3}{2}\cdot {{V}_{2}}\cdot ({{p}_{2}}-{{p}_{1}})}{\frac{5}{2}\cdot {{p}_{1}}}. \\
 & {{V}_{1}}=50\cdot {{10}^{-3}}-\frac{25\cdot {{10}^{3}}-\frac{3}{2}\cdot 50\cdot {{10}^{-3}}\cdot (0,4\cdot {{10}^{6}}-0,2\cdot {{10}^{6}})}{\frac{5}{2}\cdot 0,2\cdot {{10}^{6}}}=30\cdot {{10}^{-3}}. \\
\end{align} \]

Ответ: 30 л.

[Сергей]

В8. Вариант 1. Источник радиоактивного излучения содержит m₀ = 24 г изотопа полония ²¹⁰Ро, период полураспада которого Т = 138 сут. Через промежуток времени ∆t = 276 сут масса m₁ распавшегося изотопа полония будет равна ... г.
Решение. Определим количество ядер изотопа полония в начальный момент наблюдения.

\[ {{N}_{0}}=\frac{{{m}_{0}}}{M}\cdot {{N}_{A}}\ \ \ (1). \]

Используя закон радиоактивного распада определим количество ядер изотопа полония которые не распались за время ∆t.

\[ N={{N}_{0}}\cdot {{2}^{-\frac{\Delta t}{T}}}\ \ \ (2). \]

Зная количество ядер изотопа полония которые не распались за время ∆t, определим массу не распавшегося изотопа полония и массу распавшегося изотопа.

\[ \begin{align}
  & {{m}_{1}}={{m}_{0}}-m\ \ (3),\ N=\frac{m}{M}\cdot {{N}_{A}},\ \frac{m}{M}\cdot {{N}_{A}}=\frac{{{m}_{0}}}{M}\cdot {{N}_{A}}\cdot {{2}^{-\frac{\Delta t}{T}}},\ \ m={{m}_{0}}\cdot {{2}^{-\frac{\Delta t}{T}}}\ \ \ (4). \\
 & {{m}_{1}}={{m}_{0}}-{{m}_{0}}\cdot {{2}^{-\frac{\Delta t}{T}}}={{m}_{0}}\cdot (1-{{2}^{-\frac{\Delta t}{T}}}). \\
 & {{m}_{1}}=24\cdot {{10}^{-3}}\cdot (1-{{2}^{-\frac{276}{138}}})=24\cdot {{10}^{-3}}\cdot (1-{{2}^{-2}})=24\cdot {{10}^{-3}}\cdot (1-\frac{1}{4})=18\cdot {{10}^{-3}}. \\
\end{align} \]

Ответ: 18 г.

[Сергей]

В9. Вариант 1. При подключении к источнику постоянного тока резистора сопротивлением R = 7,0 Ом сила тока в цепи I = 1,5 А. Если сила тока при коротком замыкании источника тока I_кз = 2,0 А, то максимальная мощность Р тока, которую этот источник может отдать потребителю, равна ... Вт.
Решение. Максимальная мощность тока которую источник может отдать потребителю достигается при условии равенства внутреннего и внешнего сопротивлений. Запишем закон Ома для полной цепи, условие короткого замыкания, определим максимальную мощность.

\[ \begin{align}
  & {{P}_{\max }}=I_{\max }^{2}\cdot R,\ R=r,\ {{I}_{\max }}=\frac{E}{2\cdot r},\ {{P}_{\max }}={{(\frac{E}{2\cdot r})}^{2}}\cdot r,\ {{P}_{\max }}=\frac{{{E}^{2}}}{4\cdot r}\ \ \ (1). \\
 & {{I}_{kz}}=\frac{E}{r},\ r=\frac{E}{{{I}_{kz}}}\ \ \ (2),\ I=\frac{E}{R+r}\ ,\ I=\frac{E}{R+\frac{E}{{{I}_{kz}}}},\ I\cdot R+\frac{I}{{{I}_{kz}}}\cdot E=E,\ E\cdot (1-\frac{I}{{{I}_{kz}}})=I\cdot R\ \ , \\
 & E=\frac{I\cdot R\ }{1-\frac{I}{{{I}_{kz}}}}\ \ \ (3).\  \\
\end{align}
 \]

\[ E=\frac{1,5\cdot 7,0}{1-\frac{1,5}{2,0}}=42,0.\ r=\frac{42,0}{2,0}=21,0.\ {{P}_{\max }}=\frac{42,0\cdot 42,0}{4\cdot 21,0}=21,0. \]

Ответ: 21 Вт.

[Сергей]

В10. Вариант 1. В однородном магнитном поле, модуль магнитной индукции которого В = 0,10 Тл на двух невесомых, нерастяжимых нитях равной длины подвешен в горизонтальном положении прямой однородный проводник. Линии магнитной индукции направлены вертикально. После того как по проводнику пошёл Ток I = 2,0 А, проводник сместился так, что нити образовали с вертикалью угол α = 45°. Если длина проводника l = 50 см, то его масса m равна … г.
Решение. На проводник с током помещенный в магнитное поле действует сила Ампера. Направление силы Ампера определим по правилу левой руки. Проводник после отклонения от вертикали на угол α находится в равновесии, равнодействующая всех сил приложенных к проводнику равна нулю. Определим массу проводника.

\[ \begin{align}
  & \vec{F}=0,\ {{{\vec{F}}}_{A}}+2\cdot {{{\vec{F}}}_{H}}+m\cdot \vec{g}=0,\  \\
 & Ox:\ 2\cdot {{F}_{H}}\cdot \sin \alpha -{{F}_{A}}=0\ \ \ (1),\ Oy:\ 2\cdot {{F}_{H}}\cdot \cos \alpha -m\cdot g=0\ \ \ (2). \\
 & {{F}_{A}}=I\cdot B\cdot l\cdot \sin {{90}^{{}^\circ }},\ {{F}_{A}}=I\cdot B\cdot l\ \ \ (3). \\
 & 2\cdot {{F}_{H}}=\frac{{{F}_{A}}}{\sin \alpha },\ m\cdot g=2\cdot {{F}_{H}}\cdot \cos \alpha ,\ m\cdot g=\frac{{{F}_{A}}}{\sin \alpha }\cdot \cos \alpha ,\ m=\frac{I\cdot B\cdot l\ }{g\cdot \sin \alpha }\cdot \cos \alpha \ \ \ (4). \\
 & m=\frac{2,0\cdot 0,1\cdot 0,5\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{10\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=0,01. \\
\end{align} \]

Ответ: 10 г.   

[Сергей]

В11. Вариант 1. Зависимость силы тока от времени в цепи переменного тока имеет вид I = I₀∙соs(4∙π∙t/5 – π/15). Если амплитудное значение силы тока в цепи I₀ = 280 мА, то в момент времени t₁ = 050 с мгновенное значение силы тока I₁ равно … мА
Решение.

\[ \begin{align}
  & I=0,28\cdot \cos (\frac{4\cdot \pi }{5}\cdot t-\frac{\pi }{15}),\ I=0,28\cdot \cos (\frac{4\cdot \pi }{5}\cdot 0,5-\frac{\pi }{15})= \\
 & =0,28\cdot \cos (\frac{6\cdot \pi }{15}-\frac{\pi }{15})=0,28\cdot \cos \frac{\pi }{3}=0,28\cdot \frac{1}{2}=0,14. \\
\end{align} \]

Ответ: 140 мА.