Репетиционное тестирование 1 этап 2015/2016

[alsak]

В12. Вариант 1. Электрическая цепь состоит из двух источников постоянного тока с ЭДС E₁ = 5,0 В, E₂ = 6,0 В с одинаковыми внутренними сопротивлениями r = 2,0 Ом, резистора сопротивлением R = 10 Ом и конденсатора ёмкостью С = 0,20 мФ (см. рис). В начальный момент времени ключ K находился в положении 1 и ток в цепи отсутствовал. После того как ключ перевели в положение 2, на резисторе R выделилось количество теплоты Q, равное … мДж.
В12. Вариант 2. Электрическая цепь состоит из двух источников постоянного тока с ЭДС E₁ = 5,0 В, E₂ = 6,0 В с одинаковыми внутренними сопротивлениями r = 1,0 Ом, резистора сопротивлением R = 10 Ом и конденсатора ёмкостью С = 0,20 мФ (см. рис). В начальный момент времени ключ K находился в положении 1 и ток в цепи отсутствовал. После того как ключ перевели в положение 2, на резисторе R выделилось количество теплоты Q, равное … мДж.

Решение. Ключ в положении 1. Так как ток в цепи отсутствует, то конденсатор заряжен. Его параметры: напряжение U₁ = E₁ (т.к. напряжение на резисторе равно нулю), заряд q₁ = C∙U₁ = C∙E₁ (сверху на пластине конденсатора «+»).

Ключ в положении 2. Конденсатор начнет вначале разряжаться до нуля (т.к. второй источник другой полярности), а затем от второго источника — перезаряжаться (теперь «+» снизу). Когда процесс перезарядки прекратится, на конденсаторе будет напряжение U₂ = E₂, заряд q₂ = C∙U₂ = C∙E₂.
Источник совершает работу А при перезарядке конденсатора. Количество теплоты, которое выделится в цепи
\[Q=A+W_{1} -W_{2} =E_{2} \cdot \left(q_{2} -\left(-q_{1} \right)\right)+\frac{C\cdot U_{1}^{2} }{2} -\frac{C\cdot U_{2}^{2} }{2} =\]
\[=E_{2} \cdot \left(C\cdot E_{2} +C\cdot E_{1} \right)+\frac{C\cdot E_{1}^{2} }{2} -\frac{C\cdot E_{2}^{2} }{2} =\frac{C}{2} \cdot \left(E_{2} +E_{1} \right)^{2} .\]

Потери будут происходить как на резисторе R, так и на источнике тока. Сила тока через второй источник и сила тока через резистор в любой момент времени будут равны, тогда из закона Джоуля-Ленца следует, что за любой промежуток времени (рассматриваю только второй вариант)
\[\frac{Q_{R} }{Q_{r} } =\frac{I^{2} \cdot R\cdot \Delta t}{I^{2} \cdot r\cdot \Delta t} =\frac{R}{r} ,\; \; Q_{r} =Q_{R} \cdot \frac{r}{R} ,\]
\[Q=Q_{R} +Q_{r} =Q_{R} \cdot \frac{R+r}{R} ,\; \; Q_{R} =Q\cdot \frac{R}{R+r} =\frac{C\cdot \left(E_{2} +E_{1} \right)^{2} }{2} \cdot \frac{R}{R+r} ,\]
1 Вариант: Q =0,0101 Дж = 10 мДж.
2 Вариант: Q =0,011 Дж = 11 мДж.

[Евгений Ливянт]

Я посчитал, что внутреннее сопротивление первого источника является ненужным для решения задачи (что противоречит правилам ЦТ), а сопротивление второго источника мы учитываем, разделив потери энергии в соотношении 5 к 1 между резистором и внутренним сопротивлением второго источника.

[anat]

А5. Вариант 1. На рисунке приведён график зависимости кинетической энергии тела W_k, движущегося вдоль оси Ох, от координаты х. Равнодействующая сил, приложенных к телу, была наибольшей по модулю на участке:
1) 1-2; 2) 2-3; 3) 3-4; 4) 4-5; 5) 5-6.
Решение.
Направление равнодействующей силы всегда совпадает с направлением ускорения. Равнодействующая сил, приложенных к телу, была наибольшей по модулю на участке с максимальным ускорением. Ускорение – физическая величина равная изменению скорости за единицу времени. На участках 1 – 2, 3 – 4, 5 – 6 кинетическая энергия постоянна, скорость не изменяется, ускорение равно нулю, равнодействующая сил, приложенная к телу, равна нулю.
Определим модуль ускорения на участках 2 – 3 и 4 – 5.
W_к2 = 10 Дж, W_к3 = 60 Дж, W_к4 = 60 Дж, W_к5 = 30 Дж, s₂₃ = 2 м, s₄₅ = 1 м.

\[ \begin{align}
  & {{W}_{k}}=\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2},\ {{\upsilon }^{2}}=\frac{2\cdot {{W}_{k}}}{m},\ \upsilon _{2}^{2}=\frac{2\cdot 10}{m},\ \ \upsilon _{3}^{2}=\frac{2\cdot 60}{m},\ \ \upsilon _{4}^{2}=\frac{2\cdot 60}{m},\ \ \upsilon _{5}^{2}=\frac{2\cdot 30}{m}. \\
 & s=\frac{{{\upsilon }^{2}}-\upsilon _{0}^{2}}{2\cdot a},\ a=\frac{{{\upsilon }^{2}}-\upsilon _{0}^{2}}{2\cdot s},\  \\
 & {{a}_{23}}=\frac{\upsilon _{3}^{2}-\upsilon _{2}^{2}}{2\cdot {{s}_{23}}}=\frac{\frac{2\cdot 60}{m}-\frac{2\cdot 10}{m}}{2\cdot 2}=\frac{25}{m},\ {{a}_{45}}=\left| \frac{\upsilon _{5}^{2}-\upsilon _{4}^{2}}{2\cdot {{s}_{45}}} \right|=\left| \frac{\frac{2\cdot 30}{m}-\frac{2\cdot 60}{m}}{2\cdot 1} \right|=\frac{30}{m}. \\
\end{align} \]

При движении тела его масса не изменялась, модуль наибольшего ускорения будет на участке 4 -5. Равнодействующая сил, приложенных к телу, была наибольшей по модулю на участке 4 -5.
Ответ: 4) 4-5.

Слишком замудреное решение. Я бы решал проще.
∆W = A = F∙∆x
F = ∆W/∆x
Тогда на участках 1-2; 3-4; 5-6: |F| = 0
На участке 2-3: |F| = 25 Н;
На участке 4-5: |F| = 30 Н.
Ответ: 4) 4-5.

[Сергей]

А1. Вариант 2. Абитуриент провёл поиск информации в сети Интернет о самых быстрых серийных автомобилях. Результаты поиска представлены в таблице:

№	Марка автомобиля	Максимальная скорость
1	Bugatti Veyron	407 км/ч
2	Ferrari Enzo	5,38 км/ мин
3	F1 McLaren	3,87∙102 км/ч
4	Pagani Zonda F	9,6∙103 cм/c
5	Koenigsegg CCX	108 м/c

Максимальную скорость имеет автомобиль, название которого приведено в строке номером:
1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4; 5) 5.
Решение. Запишем все скорости в одних единицах измерения.
Bugatti Veyron - 407 км/ч = (407/3,6) м/с = 113,055 м/с.
Ferrari Enzo – 5,38 км/ мин =(5,38∙1000/60) м/с = 89,667 м/с.
F1 McLaren  – 3,87∙10² км/ч = 387 км/ч = (387/3,6) м/с = 107,5 м/с.
Pagani Zonda F  – 9,6∙10³ cм/c = 9,6∙10³∙10^-2 м/с = 96 м/с.
Koenigsegg CCX - 108 м/c .
Максимальную скорость имеет Bugatti Veyron.
Ответ: 1) 1.

[Сергей]

А2. Вариант 2. В момент времени t₀ = 0 с мальчик находящийся на мосту над ущельем глубиной Н = 200 м отпустил камень без начальной скорости. Ели модуль скорости звука в воздухе υ = 340 м/с, то звук от падения камня на дно ущелья мальчик услышит в момент времени t, равный:
1) 6,1 с; 2) 6,5 с; 3) 6,9 с; 4) 7,3 с; 5) 7,7 с.
Решение. Звук от падения камня на дно ущелья мальчик услышит в момент времени который будет равен:

t = t₁ + t₂   (1).

t₁ – время падения камня до дна ущелья, t₂ – время распространения звука от момента удара камня о дно до момента когда мальчик этот звук услышит.
Определим время падения камня без начальной скорости с высоты Н:

\[ H=\frac{g\cdot t_{1}^{2}}{2},\ {{t}_{1}}=\sqrt{\frac{2\cdot H}{g}}\ \ \ (2). \]

Определим время распространения звука от момента удара камня о дно до момента когда мальчик этот звук услышит. Подставим (2) и (3) в (1) определим общее время.

\[ \begin{align}
  & {{t}_{2}}=\frac{H}{\upsilon }\ \ \ (3). \\
 & t=\sqrt{\frac{2\cdot H}{g}}+\frac{H}{\upsilon }.\ t=\sqrt{\frac{2\cdot 200}{10}}+\frac{200}{340}=6,91. \\
\end{align} \]

Ответ: 3) 6,9 с.

[Сергей]

А3. Вариант 2. Если колесо, радиус которого R, катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности с постоянной скоростью υ (см. рис.), то отношение модулей скоростей υ_А/υ_В движения точек А и В колеса относительно горизонтальной поверхности равно:
1) 1/2; 2) √2/2; 3) 1; 4) √3; 5) 2.
Решение. В системе отсчета, связанной с центром диска, все точки обода диска движутся по окружности с одинаковой скоростью υ₁ = υ, само колесо катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности с постоянной скоростью υ₂ = υ. Определим скорость в точке А и В и их отношение.

\[ \begin{align}
  & {{\upsilon }_{B}}={{\upsilon }_{1}}+{{\upsilon }_{2}},\ {{\upsilon }_{B}}=\upsilon +\upsilon ,\ {{\upsilon }_{B}}=2\cdot \upsilon . \\
 & {{\upsilon }_{A}}=\sqrt{\upsilon _{1}^{2}+\upsilon _{2}^{2}},\ {{\upsilon }_{B}}=\sqrt{\upsilon _{{}}^{2}+\upsilon _{{}}^{2}}=\sqrt{2\cdot {{\upsilon }^{2}}}=\sqrt{2}\cdot \upsilon . \\
 & \frac{{{\upsilon }_{A}}}{{{\upsilon }_{B}}}=\frac{\sqrt{2}\cdot \upsilon }{2\cdot \upsilon }=\frac{\sqrt{2}}{2}. \\
\end{align} \]

Ответ: 2) √2/2.

[Сергей]

А4. Вариант 2. На рисунке показана зависимость проекции скорости υ_х, тела, движущегося вдоль оси Ох, на эту ось от времени t. Проекция ускорения а_х тела положительна в точке, обозначенной цифрой:
1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4; 5) 5.
Решение. Определим знак проекции ускорения в каждой точке.
 В точке 1 скорость тела положительна и на этом участке скорость уменьшается, ускорение направленно против скорости, ускорение отрицательно.
В точке 2 скорость тела положительна и на этом участке скорость уменьшается, ускорение направленно против скорости, ускорение отрицательно.
В точке 3 скорость отрицательна, на этом участке тело увеличивает скорость двигаясь против оси, ускорение направленно так как и скорость, ускорение отрицательно.
В точке 4 скорость отрицательна, на этом участке тело замедляет свою скорость двигаясь против оси, ускорение направленно против скорости, ускорение положительно.
В точке 5 скорость тела положительна и на этом участке скорость уменьшается, ускорение направленно против скорости, ускорение отрицательно.
Ответ: 4) 4.

[Сергей]

А5. Вариант 2. На рисунке приведён график зависимости кинетической энергии тела W_k, движущегося вдоль оси Ох, от координаты х. Равнодействующая сил, приложенных к телу, была наибольшей по модулю на участке:
1) 1-2; 2) 2-3; 3) 3-4; 4) 4-5; 5) 5-6.
Решение. На рисунке показан график изменения кинетической энергии от координаты. Изменение кинетической энергии равно работе всех сил, действующих на тело:

А = ∆Е_к = Е_к2 – Е_к1   (1).

Работа всех сил действующих на тело определим по формуле:

А = F∙∆х∙соsα, соsα = 1, А = F∙∆х   (2).

(2) подставим в (1) определим равнодействующую силу на каждом участке.

\[ \begin{align}
  & F\cdot \Delta x=\Delta E,\ F=\frac{\Delta E}{\Delta x}. \\
 & {{F}_{12}}=\frac{0}{2}=0,\ {{F}_{23}}=\frac{40-10}{1}=30,{{F}_{34}}=\frac{60-40}{2}=10,\ {{F}_{45}}=\frac{40-60}{1}=-20,{{F}_{56}}=\frac{30-40}{2}=-5. \\
\end{align} \]

Равнодействующая сил, приложенных к телу, была наибольшей по модулю на участке 2 – 3.
Ответ: 2) 2 – 3.

[Сергей]

А6. Вариант 2. В два вертикальных сообщающихся сосуда, площади поперечных сечений которых отличаются в n = 3 раза, а высоты одинаковы налита ртуть (ρ₁ = 13,6 г/см³) так, что до верхних краёв сосудов остаётся расстояние l = 50 см. Если широкий сосуд доверху заполнить водой (ρ₂ = 1,0 г/см³), то разность ∆h уровней ртути в сосудах будет равна:
1) 35,6 мм; 2) 37,5 мм; 3) 39,4 мм; 4) 41,5 мм; 5) 43,8 мм.
Решение. Для сообщающихся сосудов выполняются условие равновесия жидкости (в однородной жидкости на одном уровне гидростатические давления равны). Покажем рисунок. 1 и 2 первоначальный уровень ртути.

р_А = р_В   (1), p_А = ρ₂⋅g⋅(l+h₁ )  (2), p_В = ρ₂⋅g⋅(h₂ +  h₁)  (3). 

\[ \begin{align}
  & \Delta h={{h}_{1}}+{{h}_{2}}\ \ \ (4),\ {{V}_{1}}={{V}_{2}}\ ,\ {{S}_{1}}\cdot {{h}_{1}}={{S}_{2}}\cdot {{h}_{2}},\ {{h}_{2}}=\frac{{{S}_{1}}\cdot {{h}_{1}}}{{{S}_{2}}},\ \frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=2. \\
 & {{\rho }_{1}}\cdot g\cdot ({{h}_{1}}+{{h}_{2}})={{\rho }_{2}}\cdot g\cdot (l+{{h}_{1}}),\ {{\rho }_{1}}\cdot {{h}_{1}}+{{\rho }_{1}}\cdot \frac{{{S}_{1}}\cdot {{h}_{1}}}{{{S}_{2}}}-{{\rho }_{2}}\cdot {{h}_{1}}={{\rho }_{2}}\cdot l, \\
 & {{h}_{1}}=\frac{{{\rho }_{2}}\cdot l}{{{\rho }_{1}}+{{\rho }_{1}}\cdot \frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}-{{\rho }_{2}}},\ {{h}_{2}}=\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}\cdot \frac{{{\rho }_{2}}\cdot l}{{{\rho }_{1}}+{{\rho }_{1}}\cdot \frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}-{{\rho }_{2}}},\  \\
 & \Delta h=\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}\cdot \frac{{{\rho }_{2}}\cdot l}{{{\rho }_{1}}+{{\rho }_{1}}\cdot \frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}-{{\rho }_{2}}}+\frac{{{\rho }_{2}}\cdot l}{{{\rho }_{1}}+{{\rho }_{1}}\cdot \frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}-{{\rho }_{2}}}=\frac{{{\rho }_{2}}\cdot l}{{{\rho }_{1}}+{{\rho }_{1}}\cdot \frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}-{{\rho }_{2}}}\cdot (\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}+1). \\
\end{align} \]

\[ \Delta h=\frac{{{10}^{3}}\cdot 0,5}{13,6\cdot {{10}^{3}}+13,6\cdot {{10}^{3}}\cdot 3-{{10}^{3}}}\cdot (3+1)=\frac{2,0}{53,4}=0,03745. \]

∆h = 0,03745 м = 37,45 мм.
Ответ: 2) 37,5 мм.

[Сергей]

А7. Вариант 2. Из перечисленных ниже единиц физических величин единицей внутренней энергии в СИ является:
1) джоуль; 2) моль; 3) паскаль; 4) кельвин; 5) ватт.
Решение. Единицей внутренней энергии в СИ является джоуль.
Ответ: 1) джоуль.