При решении задачи необходимо учесть:
• при отражении луча от среды с меньшим показателем преломления n фаза колебаний волны не меняется;
• при отражении луча от среды с большим показателем преломления, волна меняет фазу колебаний на противоположную (на π), что равносильно потере полуволны (λ/2).
Падающий на пленку луч частично отражается от верхней части пленки в точке О (луч 1), частично проходит в пленку и отражается от точки А (луч 2) (см. рис., лучи 1 и 2 для наглядности сдвинуты относительно друг друга).
Так как вокруг пленки воздух, то показатель преломления пленки п > n0 = 1 (показатель преломления воздуха). Поэтому луч 1 при отражении теряет полволны λ/2, а луч 2 нет. Тогда оптическая разность хода лучей 2 и 1 равна
\[\delta =n\cdot r_{2} -\left(n_{0} \cdot r_{1} -\frac{\lambda }{2} \right).\]
Отличаться геометрические длины пути лучей будут только на участке ОА, где r1 = 0 — геометрический путь луча 1 в пленке, r2 = 2d — геометрический путь луча 2 в пленке. Тогда
\[\delta =2d\cdot n+\frac{\lambda }{2} .\; \; \; (1)\]
Так как для λ1 выполняется условие максимума, то с учетом уравнения (1)
\[\delta =2k\cdot \frac{\lambda _{1} }{2} =2d\cdot n+\frac{\lambda _{1} }{2} .\; \; \; (2)\]
Так как для λ2 выполняется условие минимума (ближайший минимум означает, что число k то же), то
\[\delta =\left(2k+1\right)\cdot \frac{\lambda _{2} }{2} =2d\cdot n+\frac{\lambda _{2} }{2} .\; \; \; (3)\]
Решим систему уравнений (2) – (3). Например,
\[k=\frac{2d\cdot n}{\lambda _{1} } +\frac{1}{2} ,\; \; k=\frac{2d\cdot n}{\lambda _{2} } ,\; \; \frac{2d\cdot n}{\lambda _{1} } +\frac{1}{2} =\frac{2d\cdot n}{\lambda _{2} } ,\]
\[2d\cdot n\left(\frac{1}{\lambda _{2} } -\frac{1}{\lambda _{1} } \right)=\frac{1}{2} ,\; \; 2d\cdot n\cdot \frac{\lambda _{1} -\lambda _{2} }{\lambda _{2} \cdot \lambda _{1} } =\frac{1}{2} ,\; \; n=\frac{1}{4d} \cdot \frac{\lambda _{2} \cdot \lambda _{1} }{\lambda _{1} -\lambda _{2} } ,\]
После подстановки получаем n < 1, что не может быть.
