Репетиционное тестирование 2 этап 2015/2016

[Сергей]

В 2. Вариант 1. На горизонтальном полу лифта, двигающегося с направленным вниз ускорением, модуль которого а = 2,0 м/с², лежит деревянный (ρ = 700 кг/м³) куб. Если давление куба на пол р = 4,2 кПа, то длина l ребра куба равна ... см.
Решение. Покажем на рисунке силы которые действуют на куб и ускорение с которым движется лифт. Для решения задачи используем второй закон Ньютона.
N – сила реакции опоры, m – масса куба, V – объем куба, S – площадь основы куба.

\[ \begin{align}
  & \vec{F}=m\cdot \vec{a},\ \vec{N}+m\cdot \vec{g}=m\cdot \vec{a},\ Ox:\ N-m\cdot g=m\cdot a\ \ \ (1),\ m=\rho \cdot V,\ V={{l}^{3}},\ m=\rho \cdot {{l}^{3}}\ \ \ (2), \\
 & p=\frac{N}{S},\ S={{l}^{2}},\ N=p\cdot {{l}^{2}}\ \ \ (3),\ p\cdot {{l}^{2}}-\rho \cdot {{l}^{3}}\cdot g=\rho \cdot {{l}^{3}}\cdot a,\ p=\rho \cdot l\cdot g-\rho \cdot l\cdot a,\ l=\frac{p}{\rho \cdot (g-a)}\ \ \ (4). \\
 & l=\frac{4,2\cdot {{10}^{3}}}{700\cdot (10-2,0)}=0,75. \\
\end{align} \]

l = 0,75 м = 75 см. Ответ: 75 см.

[Сергей]

В 3. Вариант 1. Автомобиль массой m = 1,70 т, начав движение из состояния покоя, прямолинейно и равноускоренно двигался в гору с уклоном α = 30,0°. Проехав путь s = 75,0 м, автомобиль приобрёл скорость, модуль которой υ = 54,0 км/ч. Если модуль силы сопротивления движению автомобиля F_сопр = k∙N, где k = 0,2 -  коэффициент пропорциональности, а N - модуль нормальной составляющей силы реакции опоры, то средняя мощность (Р), развиваемая двигателем автомобиля на этом пути, равна ... кВт.
Решение. Запишем формулу для определения средней мощности.

\[ P=\frac{A}{t},\ A=F\cdot s,\ P=\frac{F\cdot s}{t}\ \ \ (1).\ s=\frac{\upsilon +{{\upsilon }_{0}}}{2}\cdot t,\ {{\upsilon }_{0}}=0,\ s=\frac{\upsilon }{2}\cdot t,\ t=\frac{2\cdot s}{\upsilon }\ \ \ (2). \]

А – работа выполненная автомобилем за время движения, t – время движения. F – сила тяги двигателя автомобиля.
   Покажем на рисунке силы которые действуют на автомобиль и ускорение с которым он движется.  Определим силу тяги двигателя. Для решения задачи используем второй закон Ньютона:

\[ \vec{F}=m\cdot \vec{a};\ {{\vec{F}}_{mp}}+\vec{N}+m\cdot \vec{g}+\vec{F}=m\cdot \vec{a}. \]

Найдем проекции на ось Ох и Оу:

\[ \begin{align}
  & Ox:\ -{{F}_{mp}}-m\cdot g\cdot \sin a+F=m\cdot a\ (3),\ Oy:\ N-m\cdot g\cdot \cos a=0\ \ \ (4),\ {{F}_{mp}}=\mu \cdot N\ \ \ (5). \\
 & a=\frac{{{\upsilon }^{2}}-\upsilon _{0}^{2}}{2\cdot s}\ \ \ (6),\ a=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{2\cdot s},\ F=m\cdot g\cdot \sin a+m\cdot a+\mu \cdot m\cdot g\cdot \cos a,\  \\
 & F=m\cdot (g\cdot \sin a+\frac{{{\upsilon }^{2}}}{2\cdot s}+\mu \cdot g\cdot \cos a)\ \ \ (7). \\
\end{align} \]

Подставим (7) и (2) в (1) определим среднюю мощность.

\[ \begin{align}
  & P=\frac{m\cdot (g\cdot \sin a+\frac{{{\upsilon }^{2}}}{2\cdot s}+\mu \cdot g\cdot \cos a)\cdot s\cdot \upsilon }{2\cdot s},\ P=\frac{m\cdot (g\cdot \sin a+\frac{{{\upsilon }^{2}}}{2\cdot s}+\mu \cdot g\cdot \cos a)\cdot \upsilon }{2}, \\
 & P=\frac{1,7\cdot {{10}^{3}}\cdot (10\cdot \frac{1}{2}+\frac{{{54}^{2}}}{{{3,6}^{2}}\cdot 2\cdot 75,0}+0,20\cdot 10\cdot \frac{\sqrt{3}}{2})\cdot \frac{54}{3,6}}{2}=104,93. \\
\end{align}
 \]

Ответ: 105 кВт.

[Сергей]

В 4. Вариант 1. Пуля массой m₁ = 10 г, летящая горизонтально со скоростью, модуль которой υ₁ = 600 м/с, попала в центр с вертикально подвешенного на длинной нити деревянного бруска массой m₂ = 0,50 кг и застряла в нём Если глубина проникновения пули в дерево составляет s = 11 см, то модуль силы Fс сопротивления дерева движению пули равен ...  кН.
Решение. Определим скорость движения бруска после попадания и застревания в нем пули. Нить длинная, высоту подъема бруска не учитываем.
Для решения задачи используем закон сохранения импульса для абсолютно неупругого взаимодействия.

\[ {{m}_{1}}\cdot {{\vec{\upsilon }}_{1}}+{{m}_{2}}\cdot {{\vec{\upsilon }}_{2}}=({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \vec{\upsilon }. \]

Находим проекции на ось Ох:

\[  {{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}=({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \upsilon ,\ \upsilon =\frac{{{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}}{({{m}_{1}}+{{m}_{2}})}\ \ \ \ (1).\  \]

Запишем закон сохранения и превращения энергии:

\[ \begin{align}
  & \frac{{{m}_{1}}\cdot \upsilon _{1}^{2}}{2}+A=\frac{({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}\ \ \ \ (2).\ \ A={{F}_{C}}\cdot s\cdot \cos \alpha ,\ \alpha =180,\ \cos \alpha =-1, \\
 & \frac{{{m}_{1}}\cdot \upsilon _{1}^{2}}{2}-{{F}_{C}}\cdot s=\frac{({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2},\ {{F}_{C}}=\frac{{{m}_{1}}\cdot \upsilon _{1}^{2}-({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2\cdot s}. \\
 & {{F}_{C}}=\frac{{{m}_{1}}\cdot \upsilon _{1}^{2}-({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot {{(\frac{{{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}})}^{2}}}{2\cdot s}=\frac{{{m}_{1}}\cdot \upsilon _{1}^{2}\cdot (1-\frac{{{m}_{1}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}})}{2\cdot s}=\frac{{{m}_{1}}\cdot \upsilon _{1}^{2}\cdot \frac{{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}}{2\cdot s}. \\
\end{align}
 \]

\[ {{F}_{C}}=\frac{0,01\cdot {{600}^{2}}\cdot \frac{0,5}{0,01+0,5}}{2\cdot 0,11}=16042,78. \]

Ответ: 16 кН.

[Сергей]

В 5. Вариант 1. На рисунке показан график изотермического расширения водорода (^М = 2,00 ∙10^-3 кг/моль). Если масса водорода m = 4,00∙10^-2 кг, то его абсолютная температура Т равна ... К.
Решение. Используя график для р = 50∙10⁴ Па запишем объем V = 0,1 м³, из уравнения состояния идеального газа выразим температуру.

\[ p\cdot V=\frac{m}{M}\cdot R\cdot T,\ T=\frac{p\cdot V\cdot M}{m\cdot R}.\ T=\frac{50\cdot {{10}^{4}}\cdot 0,1\cdot 2,0\cdot {{10}^{-3}}}{4,0\cdot {{10}^{-2}}\cdot 8,31}=300,8. \]

Ответ: 301 К. 

[Сергей]

В 6. Вариант 1. Электронагреватель нагрел некоторую массу воды (с = 4,2∙10³ Дж/(кг∙ºС), L = 2,3 МДж/кг), находящейся в сосуде, от температуры t₁ = 20 °С до температуры кипения t₂ = 100 °С за промежуток времени τ₁ = 12 мин.  Если теплоёмкостью сосуда и потерями тепла в окружающую среду пренебречь, то при постоянной мощности нагревателя вся вода превратится в пар через промежуток времени τ2, равный ... мин.
Решение.

Q₁ = с∙m∙(t₂ – t₁)   (1).

Q₁ – количество теплоты которое необходимо затратить для нагревания воды от температуры t₁ до кипения.

Q₂ = λ∙m   (2).

Q₂ – количество теплоты которое необходимо затратить для испарения воды взятой при температуре кипения.
Составим пропорцию и определим время необходимое для испарения воды взятой при температуре кипения.

\[ \frac{{{Q}_{1}}}{{{Q}_{2}}}=\frac{{{\tau }_{1}}}{{{\tau }_{2}}},\ \frac{c\cdot m\cdot ({{t}_{2}}-{{t}_{1}})}{L\cdot m}=\frac{{{\tau }_{1}}}{{{\tau }_{2}}},\ {{\tau }_{2}}=\frac{L\cdot {{\tau }_{1}}}{c\cdot ({{t}_{2}}-{{t}_{1}})}.\ {{\tau }_{2}}=\frac{2,3\cdot {{10}^{6}}\cdot 12}{4,2\cdot {{10}^{3}}\cdot (100-20)}=82,1. \]

Ответ: 82 мин.

[Сергей]

В7. Вариант 1. Термический коэффициент полезного действия идеального теплового двигателя η₁ = 38,0%.  Если, температуру холодильника уменьшить на 19 %, не меняя температуру нагревателя, то термический коэффициент полезного действия двигателя возрастёт на ...  %.
Решение. Термический коэффициент полезного действия идеального теплового двигателя определим по формуле:

\[ \begin{align}
  & {{\eta }_{1}}=1-\frac{{{T}_{02}}}{{{T}_{1}}},\ \frac{{{T}_{02}}}{{{T}_{1}}}=1-{{\eta }_{1}}\ \ \ (1),\ {{T}_{2}}=(1-0,19)\cdot {{T}_{02}},\ {{T}_{2}}=0,81\cdot {{T}_{02}}, \\
 & {{\eta }_{2}}=1-\frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}},\ {{\eta }_{2}}=1-\frac{0,81\cdot {{T}_{02}}}{{{T}_{1}}},\ {{\eta }_{2}}=1-0,81\cdot (1-{{\eta }_{1}})\ \ \ (2).\  \\
 & {{\eta }_{2}}=1-0,81\cdot (1-0,38)=0,4978. \\
\end{align} \]

\[\frac{\Delta \eta }{\eta _{1} } =\frac{\eta _{2} -\eta _{1} }{\eta _{1} } ,\; \; \frac{\Delta \eta }{\eta _{1} } =\frac{0,4978-0,38}{0,38} =0,31.\]
Ответ: 31 %.

PS Авторы задач (РИКЗ) ссылаются на статью "Гребень, В. М. Нормативное сравнение процентов. – 2013. – № 6- задача № 10" (см. файл).

[alsak]

В12 Вариант 1. Электрическая цепь состоит из источника постоянного тока с ЭДС E = 12,0 В, двух резисторов сопротивлениями R₁ = 5,00 Ом, R₂ = 3,00 Ом, идеальной катушки индуктивностью L = 5,00∙10^–3 Гн и конденсатора емкостью C = 2,00∙10^–3 Ф (см. рис.). В начальный момент времени ключ К был замкнут и в цепи протекал постоянный ток. Если внутренним сопротивлением источника тока и потерями энергии на излучение электромагнитных волн пренебречь, то после размыкания ключа К на резисторе R₁ выделится количество теплоты Q₁, равное … мДж.

Решение. После размыкания ключа у нас получается не идеальный колебательный контур с двумя активными сопротивлениями R₁ и R₂. Энергия колебательного контура равна
\[W=\frac{C\cdot u_{c}^{2} }{2} +\frac{L\cdot i^{2} }{2} ,\; \; \; (1)\]
где i, u — значения силы тока в катушке и напряжения на конденсаторе в некоторый момент времени (т.е. это мгновенные значения).
Найдем значения i и u в момент размыкания ключа. Эти же значения были в цепи и при замкнутом ключе. Постоянный ток не идет через конденсатор, поэтому ток в цепи равен:
\[i=\frac{E}{R_{2} } \; \; \; (2)\]
(внутренним сопротивлением источника пренебречь).

Участок с конденсатором R₁C параллелен участку с катушкой (при замкнутом ключе) и параллелен источнику тока, следовательно,

u_c + u₁ = E,

где u₁ = 0 — напряжение на резисторе R₁, т.к. ток на участке с конденсатором равен нулю. Поэтому
\[u_{c} =E.\; \; \; (3)\]
Подставим уравнения (2) и (3) в уравнение (1):
\[W=\frac{C\cdot E^{2} }{2} +\frac{L\cdot E^{2} }{2R_{2}^{2} } =\frac{E^{2} }{2} \cdot \left(C+\frac{L}{R_{2}^{2} } \right).\; \; \; (4)\]

При разомкнутом ключе вся эта энергия выделится на резисторах R₁ и R₂.
Определим, какая часть всей энергии выделится на резисторе R₁. Выделим малый промежуток времени Δt в течении которого ток не изменяется и равен i₁. Тогда по закону Джоуля-Ленца (при разомкнутом ключе резисторы соединены последовательно) за этот промежуток времени Δt на резисторе R₁ выделится энергия Q₁, а во всей цепи энергия Q:
\[Q_{1} =i_{1}^{2} \cdot R_{1} \cdot \Delta t,\; \; Q=Q_{1} +Q_{2} =i_{1}^{2} \cdot \left(R_{1} +R_{2} \right)\cdot \Delta t.\]
Решим полученную систему уравнений. Например,
\[\frac{Q_{1} }{Q} =\frac{i_{1}^{2} \cdot R_{1} \cdot \Delta t}{i_{1}^{2} \cdot \left(R_{1} +R_{2} \right)\cdot \Delta t} =\frac{R_{1} }{R_{1} +R_{2} } ,\; \; Q_{1} =\frac{R_{1} }{R_{1} +R_{2} } \cdot Q.\]
Это соотношение не зависит от выбранного промежутка времени, следовательно, оно верно для любого промежутка времени. Тогда за все время разрядки в цепи выделится энергия Q = W. С учетом уравнения (4) получаем
\[Q_{1} =\frac{R_{1} }{R_{1} +R_{2} } \cdot W=\frac{R_{1} \cdot E^{2} }{2\cdot \left(R_{1} +R_{2} \right)} \cdot \left(C+\frac{L}{R_{2}^{2} } \right),\]
Q₁ = 115 мДж.

[Сергей]

В 8. Вариант 1. Монохроматический источник света, коэффициент полезного действия которого η = 1,00 %, ежесекундно испускает N = 2,70∙10¹⁸ фотонов.  Если длина волны излучаемого света λ = 536 нм, то потребляемая источником мощность Р равна ... Вт.
Решение.

\[ \begin{align}
  & \eta =\frac{E}{A}\ \ \ (1),\ A=P\cdot t\ \ \ (2),\ E=N\cdot {{E}_{1}}\ \ \ (3),\ {{E}_{1}}=\frac{h\cdot c}{\lambda }\ \ \ (4), \\
 & \eta =\frac{h\cdot c\cdot N}{\lambda \cdot P\cdot t}\ \ \ (5),\ P=\frac{h\cdot c\cdot N}{\lambda \cdot \eta \cdot t}.\ P=\frac{6,63\cdot {{10}^{-34}}\cdot 2,7\cdot {{10}^{18}}\cdot 3\cdot {{10}^{8}}}{0,01\cdot 5,36\cdot {{10}^{-7}}\cdot 1}=100,192. \\
\end{align} \]

Е – энергия всех испущенных фотонов, А – работа источника тока, Р – мощность источника тока, Е₁ – энергия одного фотона, с – скорость света, с = 3∙10⁸ м/с. h = 6,613∙10^-34 Дж∙с - постоянная Планка.
Ответ: 100 Вт.

[Сергей]

В 9. Вариант 1. Точечный положительный заряд q, в точке А (см. рис.) создает в точке С электростатическое поле, модуль напряженности которого Е = 76 В/м. Если в точку В поместить такой же заряд q, то потенциал φ   электростатического поля в точке С станет равен ... В.
Решение.

\[ \begin{align}
  & {{r}_{AC}}=\sqrt{r_{AB}^{2}-r_{BC}^{2}},\ {{r}_{AC}}=\sqrt{{{(5\cdot {{10}^{-2}})}^{2}}-{{(4\cdot {{10}^{-2}})}^{2}}}=3\cdot {{10}^{-2}}. \\
 & E=\frac{k\cdot \left| q \right|}{r_{AC}^{2}},\ q=\frac{E\cdot r_{AC}^{2}}{k}\ \ \ (1),\ \varphi ={{\varphi }_{A}}+{{\varphi }_{B}}\ \ \ (2),\ {{\varphi }_{A}}=\frac{k\cdot q}{{{r}_{AC}}}\ \ \ (3),\ {{\varphi }_{B}}=\frac{k\cdot q}{{{r}_{BC}}}\ \ \ (4), \\
 & \varphi =\frac{k\cdot q}{{{r}_{AC}}}+\frac{k\cdot q}{{{r}_{BC}}},\ \varphi =k\cdot q\cdot (\frac{{{r}_{BC}}+{{r}_{AC}}}{{{r}_{BC}}\cdot {{r}_{AC}}}),\ \ \varphi =k\cdot \frac{E\cdot r_{AC}^{2}}{k}\cdot (\frac{{{r}_{BC}}+{{r}_{AC}}}{{{r}_{BC}}\cdot {{r}_{AC}}}),\  \\
 & \varphi =E\cdot r_{AC}^{2}\cdot (\frac{{{r}_{BC}}+{{r}_{AC}}}{{{r}_{BC}}\cdot {{r}_{AC}}}),\ \varphi =76\cdot {{(3\cdot {{10}^{-2}})}^{2}}\cdot (\frac{4\cdot {{10}^{-2}}+3\cdot {{10}^{-2}}}{4\cdot {{10}^{-2}}\cdot 3\cdot {{10}^{-2}}})=3,98. \\
\end{align} \]

Ответ: 4 В.

[Сергей]

В 10. Вариант 1. Резистор сопротивлением R = 25,0 Ом подключён к источнику постоянного тока с внутренним сопротивлением r = 1,00 Ом. Если полезная мощность тока на внешнем участке цепи Р_полезн = 400 Вт, ЭДС E источника тока равна ... В.
Решение. Зная полезную мощность и внешнее сопротивление определим силу тока в цепи. Используя закон Ома для всей цепи определим ЭДС источника тока.

\[ \begin{align}
  & {{P}_{nol}}={{I}^{2}}\cdot R,\ I=\sqrt{\frac{{{P}_{nol}}}{R}}\ \ \ (1),\ I=\frac{E}{R+r}\ \ \ (2),\ E=I\cdot (R+r),\  \\
 & E=\sqrt{\frac{{{P}_{nol}}}{R}}\cdot (R+r),\ E=\sqrt{\frac{400}{25,0}}\cdot (25,0+1,00)=104. \\
\end{align}
 \]

Ответ: 104 В.