На систему конденсаторов подано напряжение

[Антон Огурцевич]

На систему конденсаторов подано напряжение U = 200 B. Полный заряд, сообщённый системе, оказался равным q = 6∙10^-4 Кл. Ёмкости конденсаторов С₁ и С₂ равны соответственно 4 и 8 мкФ. Определите ёмкость конденсатора С₃ и энергию каждого конденсатора. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Зная напряжение поданное на систему конденсаторов и полный заряд сообщенный системе определим емкость батареи конденсаторов.

\[ C=\frac{q}{U}\ \ \ (1),\ C=\frac{6\cdot {{10}^{-4}}}{200}=3\cdot {{10}^{-6}}. \]

Конденсаторы С₂ и С₃ соединены параллельно, конденсаторы С₁ и С₂₃ соединены последовательно, определите ёмкость конденсатора С₃.

\[ \begin{align}
  & {{C}_{23}}={{C}_{2}}+{{C}_{3}}\ \ \ (2),\ \frac{1}{C}=\frac{1}{{{C}_{1}}}+\frac{1}{{{C}_{23}}},\ \frac{1}{{{C}_{23}}}=\frac{1}{C}-\frac{1}{{{C}_{1}}},\ {{C}_{23}}=\frac{C\cdot {{C}_{1}}}{{{C}_{1}}-C},\ {{C}_{2}}+{{C}_{3}}=\frac{C\cdot {{C}_{1}}}{{{C}_{1}}-C}, \\
 & {{C}_{3}}=\frac{C\cdot {{C}_{1}}}{{{C}_{1}}-C}-{{C}_{2}}\ \ \ (3).\ {{C}_{3}}=\frac{3\cdot {{10}^{-6}}\cdot 4\cdot {{10}^{-6}}}{4\cdot {{10}^{-6}}-3\cdot {{10}^{-6}}}-8\cdot {{10}^{-6}}=4\cdot {{10}^{-6}}. \\
\end{align} \]

С₃ = 4∙10^-6 Ф.
Определим энергию каждого конденсатора, конденсаторы С₁ и С₂₃ соединены последовательно. При последовательном соединении конденсаторов - напряжения складываются, заряды одинаковы. Конденсаторы С₂ и С₃ соединены параллельно. При параллельном соединении конденсаторов - заряды складываются, напряжения одинаковые.

\[ \begin{align}
  & U={{U}_{1}}+{{U}_{23}}\ \ \ (3),\ q={{q}_{1}}={{q}_{23}}\ \ \ (4),\ {{W}_{1}}=\frac{{{q}^{2}}}{2\cdot {{C}_{1}}}\ \ \ (5),\ {{U}_{1}}=\frac{q}{{{C}_{1}}}\ \ \ (6),\ {{U}_{23}}=U-{{U}_{1}}\ \ \ (7), \\
 & {{U}_{23}}={{U}_{2}}={{U}_{3}}\ \ \ (8\ ),\ {{W}_{2}}=\frac{{{C}_{2}}\cdot U_{2}^{2}}{2},\ {{W}_{2}}=\frac{{{C}_{2}}\cdot {{(U-\frac{q}{{{C}_{1}}})}^{2}}}{2}\ \ \ (9),\  \\
 & {{W}_{3}}=\frac{{{C}_{3}}\cdot U_{3}^{2}}{2},\ {{W}_{2}}=\frac{{{C}_{3}}\cdot {{(U-\frac{q}{{{C}_{1}}})}^{2}}}{2}\ \ \ (10). \\
\end{align} \]

\[ \begin{align}
  & {{W}_{1}}=\frac{{{(6\cdot {{10}^{-4}})}^{2}}}{2\cdot 4\cdot {{10}^{-6}}}=4,5\cdot {{10}^{-2}}.\ {{W}_{2}}=\frac{8\cdot {{10}^{-6}}\cdot {{(200-\frac{6\cdot {{10}^{-4}}}{4\cdot {{10}^{-6}}})}^{2}}}{2}=1,0\cdot {{10}^{-2}}. \\
 & {{W}_{3}}=\frac{4\cdot {{10}^{-6}}\cdot {{(200-\frac{6\cdot {{10}^{-4}}}{4\cdot {{10}^{-6}}})}^{2}}}{2}=0,5\cdot {{10}^{-2}}. \\
\end{align} \]

С₃ = 4∙10^-6 Ф, W₁ = 4,5∙10^-2 Дж, W₂ = 1,0∙10^-2 Дж, W₃ = 0,5∙10^-2 Дж.