Заряд равномерно распределён по поверхности сферы

[Антон Огурцевич]

Заряд (+q) равномерно распределён по поверхности сферы радиусом R. Определите, как зависит напряжённость поля E (модуль) от расстояния до центра сферы, и постройте примерный график E(r). Решите эту же задачу для двух концентрических сфер радиусом R и 2R и зарядами (+q) и (-2q) соответственно. Сделать рисунки.

[Виктор]

Решение:
1. Одна сфера.
Для определения напряжённости воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса: поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность пропорционален заряду, заключенному в ней:
\[ \oint\limits_{S}{\vec{E}\cdot d\vec{S}}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\cdot Q,\text{     }E\cdot S=\frac{Q}{{{\varepsilon }_{0}}}\cdot  \]
Здесь ε₀=8,85•10^-12 Ф/м – электрическая постоянная.
Пусть поверхность – сфера, радиуса r . Тогда S = 4π•r². Остаётся найти заряд внутри, зная заряд сферы радиуса R. Рассмотрим область внутри этой сферы, на поверхности и вне сферы:
\[  0<r<R:\text{     }{{E}_{1}}\cdot 4\pi \cdot {{r}^{2}}=\frac{0}{{{\varepsilon }_{0}}},\text{    }{{E}_{1}}=0; \]
\[ r=R:\text{          }{{E}_{2}}\cdot 4\pi \cdot {{r}^{2}}=\frac{q}{{{\varepsilon }_{0}}},\text{    }{{E}_{2}}=\frac{q}{{{\varepsilon }_{0}}\cdot 4\pi \cdot {{R}^{2}}}; \]
\[  r>R:\text{     }{{E}_{3}}\cdot 4\pi \cdot {{r}^{2}}=\frac{q}{{{\varepsilon }_{0}}},\text{    }{{E}_{3}}=\frac{q}{{{\varepsilon }_{0}}\cdot 4\pi \cdot {{r}^{2}}}.  \]
Примерный график зависимости на рисунке 1.

2. Две сферы. теорема Остроградского-Гаусса:
\[ \oint\limits_{S}{\vec{E}\cdot d\vec{S}}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\cdot Q,\text{     }E\cdot S=\frac{Q}{{{\varepsilon }_{0}}}\cdot  \]
Здесь ε₀=8,85•10^-12 Ф/м – электрическая постоянная.
Пусть поверхность – сфера, радиуса r. Тогда S = 4π•r². Остаётся найти заряд внутри, зная заряд сферы радиуса R и заряд сферы радиуса 2R. Рассмотрим область внутри первой сферы, на ней, между сферами, на второй и вне сфер:
\[  0<r<R:\text{     }{{E}_{1}}\cdot 4\pi \cdot {{r}^{2}}=\frac{0}{{{\varepsilon }_{0}}},\text{    }{{E}_{1}}=0; \]
\[ r=R:\text{          }{{E}_{2}}\cdot 4\pi \cdot {{r}^{2}}=\frac{q}{{{\varepsilon }_{0}}},\text{    }{{E}_{2}}=\frac{q}{{{\varepsilon }_{0}}\cdot 4\pi \cdot {{R}^{2}}}; \]
 \[ R<r<2R:\text{     }{{E}_{3}}\cdot 4\pi \cdot {{r}^{2}}=\frac{q}{{{\varepsilon }_{0}}},\text{    }{{E}_{3}}=\frac{q}{{{\varepsilon }_{0}}\cdot 4\pi \cdot {{r}^{2}}};  \]
\[ r=2R:\text{     }{{E}_{4}}\cdot 4\pi \cdot {{r}^{2}}=\frac{q+(-2q)}{{{\varepsilon }_{0}}},\text{   }{{E}_{4}}=\frac{-q}{16\pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{R}^{2}}}; \]
\[ r>2R:\text{     }{{E}_{5}}\cdot 4\pi \cdot {{r}^{2}}=\frac{q+(-2q)}{{{\varepsilon }_{0}}},\text{    }{{E}_{5}}=\frac{-q}{{{\varepsilon }_{0}}\cdot 4\pi \cdot {{r}^{2}}}.  \]
Примерный график зависимости на рисунке 2:
При расчёте учли условие задачи. Знак минус в указывает на то, что поле в этой области направлено в противоположную сторону оси r.