Страница текста

[Антон Огурцевич]

Страница текста, напечатанного мелким шрифтом, подложена под толстую стеклянную пластину, показатель преломления которой n = 1,5. Какова максимальная толщина пластинки, при которой близорукий человек без очков наиболее чётко видит текст, если он пользуется очками D = — 5 дптр. Указание: углы падения и преломления лучей, попадающих в глаз, малы, так что отношение синусов этих углов можно заменить отношением тангенсов. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение. Запишем формулу тонкой линзы для глаза близорукого человека без очков и для глаза близорукого человека с очками.

\[ \frac{1}{f}+\frac{1}{{{d}_{1}}}=\frac{1}{{{F}_{1}}}\ \ \ (1),\ \frac{1}{f}+\frac{1}{{{d}_{2}}}=\frac{1}{{{F}_{1}}}+\frac{1}{{{F}_{2}}}\ \ \ (2),\ \frac{1}{{{F}_{2}}}=D\ \ \ (3). \]

Где: f – расстояние от линзы до изображения, d₁ – расстояние наилучшего зрения для близорукого человека, d₂ – расстояние наилучшего зрения для нормального глаза, d₂ = 0,25 м, F₁ – фокусное расстояние глаза, F₂ – фокусное расстояние очков.
(3) подставим в (2) и из (2) вычтем (1)выразим расстояние наилучшего зрения для близорукого человека.

\[  \frac{1}{f}+\frac{1}{{{d}_{2}}}-\frac{1}{f}-\frac{1}{{{d}_{1}}}=\frac{1}{{{F}_{1}}}+D-\frac{1}{{{F}_{1}}},\ \frac{1}{{{d}_{2}}}-\frac{1}{{{d}_{1}}}=D\ ,\ \frac{1}{{{d}_{1}}}=\frac{1}{{{d}_{2}}}-D,\ {{d}_{1}}=\frac{{{d}_{2}}}{1-{{d}_{2}}\cdot D}\ \ \ (4). \]

Определим расстояние наилучшего зрения для близорукого человека, покажем рисунок. В точке С находится буква шрифта, для того чтобы человек увидел ее изображение необходимо чтобы два луча от буквы попали в глаз человека. Из-за преломления лучей, изображение буквы будет не в точке С а в точке В, полученной продолжением лучей 1 и 2. Расстояние наилучшего зрения для близорукого человека будет равно расстоянию ОВ.
Рассмотрим прямоугольные треугольники АОВ и АОС, выразим катет ОА через ОВ и ОС.

\[ \begin{align}
  & OA=OB\cdot tg\beta \ \ \ (4),\ OA=OC\cdot tg\alpha \ \ \ (5),\ OB\cdot tg\beta =OC\cdot tg\alpha ,\ tg\beta =\sin \beta ,\ tg\alpha =\sin \alpha , \\
 & \frac{OB}{OC}=\frac{\sin \alpha }{\sin \beta },\ \frac{{{d}_{1}}}{d}=\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }\ \ \ (6),\ \frac{\sin \alpha }{\sin \beta }=\frac{{{n}_{1}}}{n},\ \ \frac{{{d}_{1}}}{d}=\frac{1}{n},\ {{d}_{1}}=\frac{d}{n}\ \ \ (7). \\
\end{align} \]

n₁ – показатель преломления воздуха, n₁ = 1.
Подставим (7) в (4) определим толщину пластинки.

\[ \frac{d}{n}=\frac{{{d}_{2}}}{1-{{d}_{2}}\cdot D},\ d=\frac{n\cdot {{d}_{2}}}{1-{{d}_{2}}\cdot D}\ \ \ (8\ ).\ d=\frac{1,5\cdot 0,25}{1-0,25\cdot (-5)}=0,167. \]

Ответ: 0,167 м.