Удельная теплоёмкость газовой смеси

[Антон Огурцевич]

6. Удельная теплоёмкость газовой смеси, состоящей из количества v₁ = 1 кмоль кислорода и некоторой массы m₂ аргона с_pсм = 654,86 Дж/(кг∙К). Какая масса m₂ аргона находится в газовой смеси? Сделать рисунок.

[Эдуард]

Решение

Количество теплоты, необходимое для нагревания смеси на некоторую температуру ΔТ
\[ \begin{align}
  & Q={{c}_{p}}({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \Delta T, \\
 & Q=({{c}_{p1}}{{m}_{1}}+{{c}_{p2}}{{m}_{2}})\cdot \Delta T. \\
\end{align} \]
Отсюда \[ {{c}_{p}}({{m}_{1}}+{{m}_{2}})={{c}_{p1}}{{m}_{1}}+{{c}_{p2}}{{m}_{2}}.(1) \]
Теплоемкость при постоянном давлении \[ {{c}_{p}}=\frac{(i+2)R}{2M}.  \]Для кислорода i₁ = 5, молярная масcа М₁ = 32 г/моль, для аргона i₂ = 3, М₂ = 40г/моль, поэтому
\[ \begin{align}
  & {{c}_{p1}}=\frac{(5+2)R}{2{{M}_{1}}}=\frac{7\cdot 8,31}{2\cdot 32\cdot {{10}^{-3}}}\approx 908,9\frac{Дж}{кг\cdot К }, \\
 & {{c}_{p2}}=\frac{(3+2)R}{2{{M}_{2}}}=\frac{5\cdot 8,31}{2\cdot 40\cdot {{10}^{-3}}}\approx 519,375\frac{Дж}{кг\cdot К}. \\
\end{align} \]
Из (1) найдем необходимую массу
\[ \begin{align}
  & {{m}_{2}}({{c}_{p}}-{{c}_{p2}})={{m}_{1}}({{c}_{p1}}-{{c}_{p}}), \\
 & {{m}_{2}}=\frac{{{m}_{1}}({{c}_{p1}}-{{c}_{p}})}{{{c}_{p}}-{{c}_{p2}}}=\frac{{{\nu }_{1}}{{M}_{1}}({{c}_{p1}}-{{c}_{p}})}{{{c}_{p}}-{{c}_{p2}}}=\frac{{{10}^{3}}\cdot 32\cdot {{10}^{-3}}(908,9-654,86)}{654,86-519,375}=\frac{8129,28}{135,485}=60 кг. \\
\end{align} \]
Ответ: 60 кг.