Собственное время жизни некоторой нестабильной частицы

[Антон Огурцевич]

7. Собственное время жизни некоторой нестабильной частицы ∆t = 10 нс. Какой путь пролетит эта частица до распада в лабораторной системе отсчёта, где её время жизни ∆t = 20 нс? Сделать рисунок.

[Эдуард]

Решение:
Количественное описание замедления времени может быть получено из преобразований Лоренца:
\[ \Delta t=\frac{\Delta {{t}_{0}}}{\sqrt{1-\frac{{{\upsilon }^{2}}}{{{c}^{2}}}}},(1) \]
где Δt — время, проходящее между двумя событиями движущегося объекта с точки зрения неподвижного наблюдателя, Δt₀— время, проходящее между двумя событиями движущегося объекта с точки зрения наблюдателя, связанного с движущимся объектом, υ — относительная скорость движения объекта, c — скорость света в вакууме.
Из (1) найдем скорость частицы υ
\[ \begin{align}
  & \sqrt{1-\frac{{{\upsilon }^{2}}}{{{c}^{2}}}}=\frac{\Delta {{t}_{0}}}{\Delta t}\Rightarrow 1-\frac{{{\upsilon }^{2}}}{{{c}^{2}}}={{\left( \frac{\Delta {{t}_{0}}}{\Delta t} \right)}^{2}}\Rightarrow  \\
 & \Rightarrow {{\upsilon }^{2}}={{c}^{2}}\left[ 1-{{\left( \frac{\Delta {{t}_{0}}}{\Delta t} \right)}^{2}} \right]\Rightarrow \upsilon =c\sqrt{1-{{\left( \frac{\Delta {{t}_{0}}}{\Delta t} \right)}^{2}}} \\
 &  \\
\end{align} \]
Расстояние, которое пролетит частица
\[ \begin{align}
  & s=\upsilon \cdot \Delta t=\Delta t\cdot c\sqrt{1-{{\left( \frac{\Delta {{t}_{0}}}{\Delta t} \right)}^{2}}}, \\
 & s=20\cdot {{10}^{-9}}\cdot 3\cdot {{10}^{8}}\sqrt{1-{{\left( \frac{10\cdot {{10}^{-9}}}{20\cdot {{10}^{-9}}} \right)}^{2}}}=6\cdot \sqrt{{{0,75}^{2}}}=5,196 м. \\
\end{align} \]
Ответ: 5,196 м.