Определить заряд и напряжение на пластинах конденсаторов в двух случаях

[Антон Огурцевич]

К батарее с ЭДС ξ = 300 В подключены два плоских конденсатора емкостью С₁ = 2 пФ и С₂ = 3 пФ. Определить заряд Q и напряжение U на пластинах конденсаторов в двух случаях:
1) при последовательном соединении;   
2) при параллельном соединении. Сделать рисунки.

[Эдуард]

Решение:
Электрическая емкость C есть отношение сообщенного заряда Q к возникающему в результате этого потенциалу U
\[ C=\frac{Q}{U}.(1) \]
1) При последовательном соединении
•   Заряды на конденсаторах одинаковы
\[ Q={{q}_{1}}={{q}_{2}}=...(2) \]
•   Полное напряжение равно сумме напряжений на отдельных конденсаторах
\[ U={{U}_{1}}+{{U}_{2}}+...(3) \]
•   При последовательном соединении конденсаторов величина, обратная величине полной емкости, равна сумме величин, обратных емкостей отдельных конденсаторов:
\[ \frac{1}{{{C}_{посл}}}=\frac{1}{{{C}_{1}}}+\frac{1}{{{C}_{2}}}+...(4) \]
При последовательном соединении двух конденсаторов формула (4) упрощается:
\[ \begin{align}
  & {{C}_{посл}}=\frac{{{C}_{1}}\cdot {{C}_{2}}}{{{C}_{1}}+{{C}_{2}}}, \\
 & {{C}_{посл}}=\frac{2\cdot {{10}^{-12}}\cdot 3\cdot {{10}^{-12}}}{(2+3)\cdot {{10}^{-12}}}=1,2\cdot {{10}^{-12}Ф}=1,2 пФ. \\
\end{align} \]
Из (1) найдем заряд на конденсаторах, учитывая (2)
\[ Q={{q}_{1}}={{q}_{2}}=CU=CE =300\cdot 1,2\cdot {{10}^{-12}}=360\cdot {{10}^{-12}}=0,36 нКл. \]
Найдем напряжение на каждом конденсаторе, используя (1)
\[ \begin{align}
  & U=\frac{Q}{C}. \\
 & {{U}_{1}}=\frac{Q}{{{C}_{1}}}=\frac{360\cdot {{10}^{-12}}}{2\cdot {{10}^{-12}}}=180 B. \\
 & {{U}_{2}}=\frac{Q}{{{C}_{2}}}=\frac{360\cdot {{10}^{-12}}}{3\cdot {{10}^{-12}}}=120 B. \\
\end{align} \]
2) При параллельном соединении
•   Напряжения на них одинаковы
\[ U={{U}_{1}}={{U}_{2}}=...(5) \]
•   Полный заряд равен сумме зарядов отдельных конденсаторов
\[ Q={{q}_{1}}+{{q}_{2}}+...(6) \]
•   Полная емкость параллельно соединенных конденсаторов равна сумме емкостей отдельных конденсаторов:
\[ \begin{align}
  & {{C}_{пар}}={{C}_{1}}+{{C}_{2}}+...(7) \\
 & {{C}_{пар}}=2\cdot {{10}^{-12}}+3\cdot {{10}^{-12}}=5\cdot {{10}^{-12}}=5 пФ. \\
\end{align} \]
Из (1) найдем заряд на конденсаторах, учитывая (5)
\[ \begin{align}
  & Q=CU=C E. \\
 & {{q}_{1}}={{C}_{1}}E =300\cdot 2\cdot {{10}^{-12}}=600\cdot {{10}^{-12}}=0,6 нКл. \\
 & {{q}_{2}}={{C}_{2}}E =300\cdot 3\cdot {{10}^{-12}}=900\cdot {{10}^{-12}}=0,9 нКл. \\
\end{align} \]
Ответ:
1)   q₁ = q₂ = 0,36 нКл, U₁ = 180 В, U₂ = 120 В;
2)   q₁ = 0,6 нКл, q₂ = 0,9 нКл, U₁ = U₂ = E = 300 В.