В лунку размером

[Антон Огурцевич]

В лунку размером 10x10x10 см, целиком заполненную водой, опускают цилиндрическое тело (ось цилиндра вертикальна). В результате часть воды выливается из лунки, а тело начинает плавать в ней. После этого из лунки отлили ещё 250 г воды, так что цилиндр стал в ней плавать, касаясь дна.
1) Какая масса воды M осталась в лунке?
2) Чему равна плотность материала цилиндра?
Диаметр цилиндра d немного меньше 10 см, высота цилиндра равна его диаметру. Сделать рисунок.

[Эдуард]

Решение:
Разность уровней воды и дна цилиндра всегда (до и после отлива) будет одинакова.
Найдем толщину слоя воды под цилиндром Δh: объем отлитой воды (Δm  = 250 г) равен объему слоя воды под цилиндром:
\[ \begin{align}
  & \Delta m={{\rho }_{B}}\cdot \Delta h\cdot {{a}^{2}}, \\
 & \Delta h=\frac{\Delta m}{{{\rho }_{B}}\cdot {{a}^{2}}}=\frac{0,25}{{{10}^{3}}\cdot {{0,1}^{2}}}=0,025 м=2,5 см. \\
\end{align} \]
1)   Массу оставшейся воды определим из тех соображений, что цилиндр полностью погрузился в лунку, и касается дна, а их геометрические размеры практически равны (d = a = 10 см.). Уровень воды ниже верхнего края лунки на Δh, т.к. разность уровней воды и дна цилиндра всегда (до и после отлива) будет одинакова.
Объем занимаемый водой V_в равен
\[  \begin{align}
  & {{V}_{B}}={{V}_{1}}-{{V}_{2}}=(a-\Delta h)\cdot {{a}^{2}}-(a-\Delta h)\frac{\pi {{a}^{2}}}{4}=(a-\Delta h)\cdot {{a}^{2}}\left( 1-\frac{\pi }{4} \right), \\
 & {{V}_{B}}=(0,1-0,025)\cdot {{0,1}^{2}}\left( 1-\frac{3,14}{4} \right)=0,16125\cdot {{10}^{-3}}{{м}^{3}}. \\
\end{align}  \]
где V₁ – объем лунки по уровню воды, а² – площадь дна лунки, V₂ – объем цилиндра по уровню воды, πа²/4 – площадь дна цилиндра.
Масса воды (плотность воды 1000 кг/м3)
\[ \begin{align}
  & {{\text{M}}_{B}}={{\rho }_{B}}{{V}_{B}}, \\
 & {{\text{M}}_{B}}=1000\cdot 0,16125\cdot {{10}^{-3}}=0,161 кг=161 г. \\
\end{align}  \]
2)   Условие плавания цилиндра: выталкивающая сила со стороны воды равна силе тяжести цилиндра: F_выт = mg
Выталкивающая сила (Архимеда) равна\[  {{F}_{выт}}={{\rho }_{B}}g{{V}_{3}}, \]
 где V₃ – объем, погруженнойв воду части цилиндра.
\[ {{V}_{3}}=(a-\Delta h)\frac{\pi {{a}^{2}}}{4}, \]
где Δh – толщина слоя под цилиндром.
Масса цилиндра равна 
где ρ – плотности цилиндра,V₄ – объем цилиндра.
\[ \begin{align}
  & {{\rho }_{B}}\cdot g\cdot {{V}_{3}}={{\rho }_{{}}}\cdot {{V}_{4}}\cdot g, \\
 & {{\rho }_{B}}\cdot g\cdot (a-\Delta h){{\frac{\pi {{a}^{2}}}{4}}_{3}}=\rho \cdot a\cdot \frac{\pi {{a}^{2}}}{4}\cdot g, \\
 & {{\rho }_{B}}\cdot (a-\Delta h)=\rho \cdot a, \\
 & \rho =\frac{{{\rho }_{B}}\cdot (a-\Delta h)}{a}=\frac{{{10}^{3}}(0,1-0,025)}{0,1}=750\frac{кг}{{{м}^{3}}}. \\
\end{align}  \]
Ответ: 1) 161 г
            2) 750 кг/м³.