Две пересекающиеся под углом заряженные зарядами разного знака плоскости

[Антон Огурцевич]

Две пересекающиеся под углом альфа заряженные зарядами разного знака плоскости делят пространство на четыре части. Плотности заряда на плоскостях ±s . Найти величину электрического поля Е в соответствующих областях пространства. Сделать рисунок.

[Виктор]

Решение: сделаем рисунок
Вектор напряжённости направлен перпендикулярно плоскости, от плюса, к минусу. Пусть E₊  напряженность поля положительно заряженной плоскости, E_– - отрицательно  заряженной. Причём они равны по модулю и равны
\[ {{E}_{+}}={{E}_{-}}=\frac{\sigma }{2\cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot \varepsilon }, \]
Здесь ε₀ – электрическая постоянная, ε – диэлектрическая проницаемость пространства, окружающего плоскости. Напряжённость поля системы подчиняется принципу суперпозиции. Как видно из рисунка напряжённость поля в 1 и 3 областях, а также во 2 и 4 областях равны по модулю (симметричная картина), тогда воспользовавшись теоремой косинусов для диагонали параллелограмма, найдём их
\[ \begin{align}
  & {{E}_{2}}={{E}_{4}}=\sqrt{E_{+}^{2}+E_{-}^{2}+2\cdot {{E}_{+}}\cdot {{E}_{-}}\cos \alpha }=\sqrt{2\cdot E_{+}^{2}+2\cdot E_{+}^{2}\cos \alpha }=\sqrt{2}\cdot {{E}_{+}}\cdot \sqrt{1+\cos \alpha }, \\
 & {{E}_{2,4}}=\frac{\sigma \cdot \sqrt{2}}{2\cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot \varepsilon }\cdot \sqrt{1+\cos \alpha }. \\
\end{align} \]
\[ \begin{align}
  & {{E}_{1}}={{E}_{3}}=\sqrt{E_{+}^{2}+E_{-}^{2}+2\cdot {{E}_{+}}\cdot {{E}_{-}}\cos \beta }=\sqrt{2\cdot E_{+}^{2}+2\cdot E_{+}^{2}\cos \beta }=\sqrt{2}\cdot {{E}_{+}}\cdot \sqrt{1+\cos \beta }, \\
 & {{E}_{1,3}}=\frac{\sigma \cdot \sqrt{2}}{2\cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot \varepsilon }\cdot \sqrt{1+\cos \left( 180{}^\circ -\alpha  \right)}=\frac{\sigma \cdot \sqrt{2}}{2\cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot \varepsilon }\cdot \sqrt{1-\cos \alpha }. \\
\end{align} \]