Решение: вес тела — это сила с которой тело давит на опору, и он равен по модулю силе нормальной реакции опоры (тело на опоре неподвижно). На полюсе вращения нет. Поэтому вес численно равен силе притяжения между телом и планетой. Воспользуемся законом всемирного тяготения
\[ {{F}_{1}}=G\cdot \frac{m\cdot M}{{{\left( R+h \right)}^{2}}}, \]
здесь m – масса тела, M – масса планеты, которую определим через плотность и объём
\[ M=\rho \cdot V=\rho \cdot \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot {{R}^{3}}. \]
На экваторе вес меньше из-за вращения, т.е. от силы тяготения нужно отнять центростремительную силу (произведение центростремительного ускорения на массу тела)
\[ {{F}_{2}}=G\cdot \frac{m\cdot M}{{{R}^{2}}}-m\cdot a=m\cdot \left( \frac{G\cdot M}{{{R}^{2}}}-{{\omega }^{2}}\cdot R \right), \]
Здесь ω = 2π/T – угловая скорость. Приравняв силы, определим высоту
\[ G\cdot \frac{m\cdot M}{{{\left( R+h \right)}^{2}}}=m\cdot \left( \frac{G\cdot M}{{{R}^{2}}}-{{\omega }^{2}}\cdot R \right), \]
\[ \frac{1}{{{\left( R+h \right)}^{2}}}=\left( \frac{1}{{{R}^{2}}}-\frac{{{\omega }^{2}}\cdot R}{G\cdot M} \right)=\frac{G\cdot M-{{\omega }^{2}}\cdot {{R}^{3}}}{{{R}^{2}}\cdot G\cdot M}, \]
\[ R+h=\sqrt{\frac{{{R}^{2}}\cdot G\cdot \rho \cdot \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot {{R}^{3}}}{G\cdot \rho \cdot \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot {{R}^{3}}-{{\frac{4\cdot \pi }{{{T}^{2}}}}^{2}}\cdot {{R}^{3}}}}=\sqrt{\frac{{{R}^{2}}\cdot G\cdot \rho \cdot \frac{4}{3}\cdot \pi }{G\cdot \rho \cdot \frac{4}{3}\cdot \pi -{{\frac{4\cdot \pi }{{{T}^{2}}}}^{2}}}}, \]
\[ h=R\cdot \left( \sqrt{\frac{4\cdot G\cdot \rho }{4\cdot G\cdot \rho -\frac{12\cdot \pi }{{{T}^{2}}}}}-1 \right)=R\cdot T\cdot \left( \sqrt{\frac{4\cdot G\cdot \rho }{4\cdot G\cdot \rho \cdot {{T}^{2}}-12\cdot \pi }}-1 \right). \]
\[ h=R\cdot T\cdot \left( \sqrt{\frac{4\cdot G\cdot \rho }{4\cdot G\cdot \rho \cdot {{T}^{2}}-12\cdot \pi }}-1 \right). \]
Это ответ.
