Решение: коэффициент теплопроводности газа рассчитывается по формуле
\[ \chi =\frac{1}{3}\cdot \rho \cdot {{c}_{v}}\cdot \bar{\lambda }\cdot \bar{\upsilon },(1) \]
где ρ – плотность газа, cv — удельная теплоёмкость при постоянном объёме, λ – средняя длина свободного пробега молекул газа, υ – средняя тепловая скорость. Средняя длина свободного пробега молекул газа определяется выражением
\[ \bar{\lambda }=\frac{1}{\pi \sqrt{2}\cdot {{\sigma }^{2}}\cdot n},(2) \]
где n – концентрация молекул, которую легко найти из закона Авогадро
\[ p=n\cdot k\cdot T,\text{ }n=\frac{p}{k\cdot T},(3) \]
здесь k = 1,38•10-23 Дж/К – постоянная Больцмана, p – давление газа, T – температура. Удельная теплоёмкость при постоянном объёме
\[ {{c}_{v}}=\frac{i\cdot R}{2\cdot M},(4) \]
где i = 5 - число степеней свободы (азот – двухатомный газ), R = 8,31 Дж/(моль•К) – универсальная газовая постоянная, M = 28 г/моль – молярная масса азота. Плотность газа определим из уравнения Клапейрона-Менделеева
\[ p\cdot V=\frac{m\cdot R\cdot T}{M},\text{ }p=\frac{m\cdot R\cdot T}{V\cdot M}=\frac{\rho \cdot R\cdot T}{M},\text{ }\rho =\frac{p\cdot M}{R\cdot T}.(5) \]
Средняя тепловая скорость движения молекул газа
\[ \bar{\upsilon }=\sqrt{\frac{8\cdot R\cdot T}{\pi \cdot M}}.(6) \]
Таким образом, подставив (3) в (2), всё соберём в (1) т.е. (2), (4), (5) и (6) сделаем преобразования и получим окончательный ответ
\[ \bar{\lambda }=\frac{1}{\pi \sqrt{2}\cdot {{\sigma }^{2}}\cdot \frac{p}{k\cdot T}}=\frac{k\cdot T}{\pi \sqrt{2}\cdot {{\sigma }^{2}}\cdot p}, \]
\[ \chi =\frac{1}{3}\cdot \rho \cdot {{c}_{v}}\cdot \bar{\lambda }\cdot \bar{\upsilon }=\frac{1}{3}\cdot \frac{p\cdot M}{R\cdot T}\cdot \frac{i\cdot R}{2\cdot M}\cdot \frac{k\cdot T}{\pi \sqrt{2}\cdot {{\sigma }^{2}}\cdot p}\cdot \sqrt{\frac{8\cdot R\cdot T}{\pi \cdot M}}, \]
\[ \chi =\frac{1}{3}\frac{i\cdot k}{\pi \cdot 2\sqrt{2}\cdot {{\sigma }^{2}}}\cdot \sqrt{\frac{8\cdot R\cdot T}{\pi \cdot M}}=\frac{i\cdot k}{3\cdot \pi \cdot {{\sigma }^{2}}}\cdot \sqrt{\frac{R\cdot T}{\pi \cdot M}}, \]
\[ \chi =\frac{5\cdot 1,38\cdot {{10}^{-23}}}{3\cdot 3,14\cdot {{\left( 0,38\cdot {{10}^{-9}} \right)}^{2}}}\cdot \sqrt{\frac{8,31\cdot 280}{3,14\cdot 28\cdot {{10}^{-3}}}}=8,25\cdot {{10}^{-3}}. \]
Ответ: 8,25 мВт/(м•К)
