Решение: угловая скорость равна первой производной по времени от угла поворота. Таким образом, зависимость угловой скорости от времени
\[ \omega =\frac{d\varphi }{dt}=\frac{d\left( 3-t+0,1\cdot {{t}^{3}} \right)}{dt}=0-1+3\cdot 0,1\cdot {{t}^{2}}=-1+0,3\cdot {{t}^{2}}. \]
В момент времени t1 = 1 с значение угловой скорости ω1 = – 0,7 рад/с. Если посмотреть на график зависимости угловой скорости от времени, от 0 до почти 2 с (время t1 = 1 с входит в этот промежуток) угловая скорость отрицательна и по модулю уменьшается, т.е. диск замедляется. Это означает что в этот момент времени тангенциальная составляющая ускорения направлена против линейной скорости (см. рис.). Для начала нужно определить угловое ускорение как первую производную от угловой скорости по времени
\[ \varepsilon =\frac{d\omega }{dt}=\frac{d\left( -1+0,3\cdot {{t}^{2}} \right)}{dt}=0+2\cdot 0,3\cdot t=0,6\cdot t. \]
В момент времени t1 = 1 угловое ускорение равно 0,6 рад/с2. Таким образом, тангенциальная и нормальная составляющие ускорения равны соответственно
\[ {{a}_{\tau }}=\varepsilon \cdot R,\text{ }{{a}_{n}}={{\omega }^{2}}\cdot R. \]
Как видно из рисунка, угол между вектором линейной скорости и полного ускорения равен β = 90° + α, где угол α определим, воспользовавшись определением тангенса угла
\[ \begin{align}
& \operatorname{tg}\alpha =\frac{{{a}_{\tau }}}{{{a}_{n}}}=\frac{\varepsilon \cdot R}{{{\omega }^{2}}\cdot R}=\frac{\varepsilon }{{{\omega }^{2}}}=\frac{0,6}{{{0,7}^{2}}}=1,22; \\
& \alpha =\operatorname{arctg}1,22=50,76{}^\circ ; \\
& \beta =90{}^\circ +50,76{}^\circ =140,76{}^\circ . \\
\end{align} \]
Ответ: 140,8°, замедляется, графики – приложения.
