Вступительный экзамен июнь 2016 года

[alsak]

Вступительный экзамен по физике в лицеи Могилевской области. 17 июня 2016. 10.00-13.00
Ускорение свободного падения g = 10 м/с².

Часть А.

В задачах 1 − 6 укажите правильные ответы.

Вариант 1 №1. Участок цепи состоит из двух резисторов 5 Ом и 20 Ом, соединенных параллельно. Определите сопротивление этого участка.

А. 0,25 Ом. Б. 4 Ом. В. 15 Ом. Г. 25 Ом. Д. 100 Ом.

Решение. При параллельном соединении двух резисторов сопротив-ление участка можно найти так:
\[\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2},\ \ R=\frac{{R_1}\cdot {R_2}}{R_2+R_1},\]
R = 4 Ом.
Ответ: Б.

Вариант 2 №1. Последовательно с лампочкой сопротивлением 4 Ом включен резистор, сопротивление которого 2 Ом. Определите их общее сопротивление.

А. 0,75 Ом. Б. 1,3 Ом. В. 2 Ом. Г. 6 Ом. Д. 8 Ом.

Решение. При последовательном соединении двух резисторов сопротивление участка равно
\[R={R_1}+{R_2},\]
R = 4 Ом + 2 Ом = 6 Ом.
Ответ: Г.

[alsak]

Вариант 1 №2. На сколько удлинилась пружина жесткостью 100 Н/м, если сила упругости при этом равна 2 Н?

А. 2 мм. Б. 5 мм. В. 2 см. Г. 5 см. Д. 200 мм.

Решение. Коэффициент жесткость пружины и сила упругости связаны соотношением (закон Гука) F = k∙Δl. Тогда
\[\Delta l=\frac{F}{k} ,\]
Δl = 2∙10^–2 м = 2 см.
Ответ: В.

Вариант 2 №2. Пружина имеет длину в недеформированном состоянии 360 мм и под действием силы 4,5 кН сжимается до 240 мм. Найдите жесткость пружины.

А. 26,7 Н/м. Б. 37,5 Н/м. В. 37,5 кН/м. Г. 18,8 кН/м. Д. 540 кН/м.

Решение. Коэффициент жесткости пружины и сила упругости связаны соотношением F = k∙Δl, где Δl =| l – l₀|. Тогда
\[k=\frac{F}{\Delta l} =\frac{F}{\left|l-l_{0} \right|} ,\]
k =  3,75·10⁴ Н/м = 37,5 кН/м.
Ответ: В.

Вариант 1 №3. Мальчик параллельно берегу толкает шестом плот с силой 200 Н. Угол между направлением силы и направлением перемеще-ния плота равен 30°. На сколько переместится плот, если при этом будет совершена работа 1,4 кДж?

А. 8,1 м. Б. 14 м. В. 124 м. Г. 231 м. Д. 242 м.

Решение. Механическая работа A = F·Δr·cos α. Тогда
\[\Delta r=\frac{A}{F\cdot \cos \alpha } ,\]
Δr = 8,1 м.
Ответ: А.

Вариант 2 №3. Ящик тянут равномерно по горизонтальной поверх-ности за веревку, образующую с горизонтом угол 60°. Сила, приложенная к веревке, равна 25 Н. Какая работа совершается при перемещении ящика на расстояние 40 м?

А. 125 Дж. Б. 500 Дж. В. 866 Дж. Г. 1000 Дж. Д. 60 кДж.

Решение. Механическая работа A = F·Δr·cos α. Тогда
А = 25 Н · 40 м · cos 60° = 500 Дж.
Ответ: Б.

[alsak]

Вариант 1 №4. На рисунке 1 изображен график изменения температуры t тела в зависимости от подводимого количества теплоты Q. Определите удельную теплоемкость тела, масса которого равна 2 кг.

А. 53 Дж/(кг·°С).  Б. 250 Дж/(кг·°С). В. 1 кДж/(кг·°С). Г. 4,75 кДж/(кг·°С). Д. 9,5 кДж/(кг·°С).

Вариант 2 №4. На рисунке 2 изображен график изменения температуры t тела в зависимости от подводимого количества теплоты Q. Определите удельную теплоемкость тела, масса которого равна 2 кг.

А. 53 Дж/(кг·°С). Б. 95 Дж/(кг·°С). В. 500 Дж/(кг·°С). Г. 2,6 кДж/(кг·°С). Д. 4,8 кДж/(кг·°С).

Решение. Обозначим ΔQ количество теплоты, необходимое для нагревания тел, и равное
\[\Delta Q=c\cdot m\cdot \Delta t,\; \; \Delta Q=Q_{2} -Q_{1} ,\, \, \, \Delta t=t_{2} -t_{1} ,\]
где Q₁ — количество теплоты, соответствующее на графике температуре t₁, Q₂ — количество теплоты, соответствующее на графике температуре t₂. Тогда
\[c=\frac{Q_{2} -Q_{1} }{m\cdot \left(t_{2} -t_{1} \right)} .\]
1 вариант. Выберем на графике, например, температуры t₁ = 380 °С и t₂ = 420 °С. Им соответствуют Q₁ = 40 кДж, Q₂ = 60 кДж. Тогда с₁ = 250 Дж/(кг·°С).
Ответ: Б.

2 вариант. Выберем на графике, например, температуры t₁ = 380 °С и t₂ = 420 °С. Им соответствуют Q₁ = 40 кДж, Q₂ = 80 кДж. Тогда с₂ = 500 Дж/(кг·°С).
Ответ: В.

[alsak]

Вариант 1 №5. Период вращения лопастей ветряной мельницы равен 5 с. Определите число оборотов лопастей за 1 ч.

А. 12. Б. 300. В. 720. Г. 1000. Д. 18 000.

Решение. При равномерном движении по окружности период и число оборотов связаны соотношением
\[T=\frac{t}{N} ,\]
где Т = 5 с, t = 1 ч = 3600 с. Тогда
\[N=\frac{t}{T} ,\]
N = 720.
Ответ: В.

Вариант 2 №5. Частота вращения воздушного винта самолета 25 с^–1. За какое время винт совершает 3000 оборотов.

А. 2 мин. Б. 50 мин. В. 2 ч. Г. 21 ч. Д. 30 ч.

Решение. При равномерном движении по окружности частота и число оборотов связаны соотношением
\[\nu =\frac{N}{t} ,\]
где ν = 25 с–1, N = 3000. Тогда
\[t=\frac{N}{\nu } ,\]
t = 120 с = 2 мин.
Ответ: А.

[alsak]

Вариант 1 №6. Стрела, выпущенная из лука вертикально вверх, упала на землю через 8 с. Определите начальную скорость стрелы. Высотой стрелка можно пренебречь.

А. 40 м/с. Б. 50 м/с. В. 60 м/с. Г. 70 м/с. Д. 80 м/с.

Вариант 2 №6. Стрела выпущена из лука вертикально вверх с начальной скоростью 30 м/с. Определите, когда стрела упадет на землю? Высотой стрелка можно пренебречь.

А. 3 с. Б. 4 с. В. 5 с. Г. 6 с. Д. 7 с.

Решение. За тело отсчета выберем поверхность земли, ось 0Y направим вверх, тогда h₀ = 0 (высотой стрелка пренебрегаем) и h = 0 («стрела упала на землю») (рис. ).
При свободном падении тел можно использовать уравнение движения
\[y=y_{0} +\upsilon _{0y} \cdot t+\frac{g_{y} \cdot t^{2} }{2} ,\; \; y=\upsilon _{0} \cdot t-\frac{g\cdot t^{2} }{2} ,\]
так как y₀ = h₀ = 0, υ_0y = υ₀, g_y = –g.

1 вариант. Начальную скорость можно найти несколькими способами. Один из способов: так как при t = t_п (времени полета), y(t_п) = 0, то
\[y\left(t_{n} \right)=0=\upsilon _{0} \cdot t_{n} -\frac{g\cdot t_{n}^{2} }{2} ,\; \; \upsilon _{0} =\frac{g\cdot t_{n}^{} }{2} ,\]
υ₀ = 40 м/с.
Ответ: А.

2 вариант. Время, через которое тело упадет на Землю, так же можно найти несколькими способами. Один из способов: так как при t = t_п (времени полета), y(t_п) = 0, то
\[y\left(t_{n} \right)=0=\upsilon _{0} \cdot t_{n} -\frac{g\cdot t_{n}^{2} }{2} =\left(\upsilon _{0} -\frac{g\cdot t_{n}^{} }{2} \right)\cdot t_{n} ,\]
t_п = 0 — не подходит по смыслу, поэтому
\[\upsilon _{0} -\frac{g\cdot t_{n}^{} }{2} =0,\; \; t_{n} =\frac{2\upsilon _{0} }{g} ,\]
t_п = 6 с.
Ответ: Г.

[alsak]

Часть Б.
Представьте полные решения задач 7 − 10.

Вариант 1 №7. Алюминиевый чайник массой 400 г, в котором находится 1 кг воды при 20 °С, помещают на газовую плиту с КПД 60%. Определите мощность плиты, при которой вода закипит через 15 мин.
Удельная теплоемкость алюминия 920 Дж/(кг·°С), удельная теплоемкость воды 4,19·10³ Дж/(кг·°С), температура кипения воды 100 °С.
Решение. КПД плиты
\[\eta =\frac{Q_{1} }{Q_{2} } ,\]
где Q₁ — количество теплоты, которое потребуется для нагревания алюминиевого чайника и воды от t₁ = 20 °С до t₂ = 100 °С, Q₂ — количество теплоты, которое выделяет газовая плита мощности Р за время Δτ = 15 мин = 900 с.
\[Q_{1} =c_{1} \cdot m_{1} \cdot \left(t_{2} -t_{1} \right)+c_{2} \cdot m_{2} \cdot \left(t_{2} -t_{1} \right),\; \; Q_{2} =P\cdot \Delta \tau .\]
Тогда
\[\eta =\frac{c_{1} \cdot m_{2} \cdot \left(t_{2} -t_{1} \right)+c_{2} \cdot m_{2} \cdot \left(t_{2} -t_{1} \right)}{\; \cdot \Delta \tau } ,\; \; P=\frac{\left(c_{1} \cdot m_{1} +c_{2} \cdot m_{2} \right)\cdot \left(t_{2} -t_{1} \right)}{\eta \cdot \Delta \tau } ,\]
Р = 675 Вт.

Вариант 2 №7. Найдите массу льда, имеющего температуру t = –10 °С, который можно растопить за 10 мин с помощью электрического нагревателя, работающего при токе силой 3 А от сети с напряжением 220 В. КПД нагревателя η = 80%.
Удельная теплоемкость льда 2,1⋅10³ Дж/(кг·°С), его удельная теплота плавления 3,3⋅10⁵ Дж/кг, температура плавления 0 °С.
Решение. КПД плиты
\[\eta =\frac{Q_{1} }{Q_{2} } ,\]
где Q₁ — количество теплоты, которое потребуется для нагревания льда от t₁ = –10 °С до t₂ = 0 °С и его плавления, Q₂ — количество теплоты, которое лед получит от электрического нагревателя за время Δτ = 10 мин = 600 с.
\[Q_{1} =c\cdot m\cdot \left(t_{2} -t_{1} \right)+m\cdot \lambda ,\; \; Q_{2} =U\cdot I\cdot \Delta \tau .\]
Тогда
\[\eta =\frac{m\cdot \left(c\cdot \left(t_{2} -t_{1} \right)+\lambda \right)}{U\cdot I\cdot \Delta \tau } ,\; \; m=\frac{\eta \cdot U\cdot I\cdot \Delta \tau }{c\cdot \left(t_{2} -t_{1} \right)+\lambda } ,\]
m = 0,903 кг = 903 г.

[alsak]

Вариант 1 №8. В цепь включены последовательно три проводника сопротивлением: R₁ = 5 Ом, R₂ = 6 Ом, R₃ = 12 Ом (рис. 1). Чему равно напряжение между точками B и C, если показание идеального вольтметра 12 В?
Решение. Выделим участок цепи, для которого известны две величины из трех — это резистор 2: нам известны R₂ = 6 Ом и U₂ = 1,2 В. Тогда из закона Ома найдем
\[I_{2} =\frac{U_{2} }{R_{2} } .\]
Выделим участки цепи, соединенные последовательно или параллельно: резисторы соединены последовательно. Поэтому
\[I=I_{1} =I_{2} =I_{3} =\frac{U_{2} }{R_{2} } ,\]
I = I₁ = I₂ = I₃ = 2 А.
Напряжения U₁ и U₃ найдем из закона Ома для этих резисторов
\[I_{1} =\frac{U_{1} }{R_{1} } ,\; \; U_{1} =I_{1} \cdot R_{1} ,\; \; U_{3} =I_{3} \cdot R_{3} .\]
Напряжение между точками B и C равно
\[U_{BC} =U_{1} +U_{2} +U_{3} =I_{1} \cdot R_{1} +U_{2} +I_{3} \cdot R_{3} ,\]
U_ВC = 46 В.

Вариант 2 №8. Цепь состоит из трех последовательно соединенных проводников, подключенных к источнику напряжением 24 В. Сопротивление первого проводника 4 Ом, второго 6 Ом, и напряжение на концах третьего проводника 4 В. Найдите напряжение на концах первого проводника.
Решение. Схематический рисунок электрической цепи показан на рис. 2. Участка цепи, для которого известны две величины из трех, нет. Но можно найти R_1/2 и U_1/2 для участка 1-2. Проводники на этом участке соединены последовательно, поэтому
\[R_{1/2} =R_{1} +R_{2} ,\; \; U=U_{1/2} +U_{3} .\]
Тогда
\[I_{1} =I_{2} =I_{3} =I=I_{1/2} =\frac{U_{1/2} }{R_{1/2} } =\frac{U-U_{3} }{R_{1} +R_{2} } ,\]
I = I₁ = I₂ = I₃ = I_1/2 = 2 А.
Теперь для участка 1 цепи известны две величины.
\[I_{1} =\frac{U_{1} }{R_{1} } ,\; \; U_{1} =I_{1} \cdot R_{1} ,\]
U₁ = 8 В.

[alsak]

Вариант 1 №9. Вычислите силу F, с которой нужно толкать деревянный брусок по деревянному полу, чтобы он двигался с ускорением 2 м/с². Масса бруска 20 кг. Пол горизонтальный, сила F направлена параллельно полу. Коэффициент трения дерева по дереву 0,25.
Вариант 2 №9. Упряжка собак при движении саней со стальными полозьями по горизонтальной обледенелой дороге может развить силу до 500 Н. Определите массу саней с грузом, которую собаки могут перемещать с ускорением 0,2 м/с². Коэффициент трения стали по льду равен 0,020.
Решение. Тело скользит по полу (под дороге), следовательно, учитываем силу трения скольжения. На него действуют сила тяжести (m∙g), сила реакции опоры (N), сила трения скольжения (F_t) и внешняя сила (F) (рис. ). Запишем второй закон Ньютона:
\[m\cdot \vec{a}=\vec{N}+\vec{F}+m\cdot \vec{g}+\vec{F}_{t} ,\]
\[0X:\; m\cdot a=F-F_{t} ,\; \; \; (1)\]
\[0Y:\; 0=N-m\cdot g,\; \; \; (2)\]
где F_t = μ∙N, N = m∙g (из уравнения (2)). Тогда
для 1 варианта
\[F=m\cdot a+F_{t} =m\cdot a+\mu \cdot m\cdot g=m\cdot \left(a+\mu \cdot g\right),\]
F = 90 Н.

для 2 варианта
\[m\cdot a = F-\mu \cdot m\cdot g,\; \; m=\frac{F}{a+\mu \cdot g},\]
m = 1250 кг.

[alsak]

Вариант 1 №10. В шар массой 700 г, висящий на легком стержне, попадает пуля массой 10 г, летящая горизонтально. Шар, вместе с застрявшей в нем пулей, отклоняется на высоту 20 см от своего начального положения. Найдите скорость пули.
Вариант 2 №10. В шар массой 600 г, висящий на легком стержне, попадает пуля массой 10 г, летящая горизонтально. Шар, вместе с застрявшей в нем пулей, отклоняется на высоту 25 см от своего начального положения. Найдите скорость пули.
Решение. Рассмотрим вначале процесс столкновения пули (m₁) и шара (m₂) (неупругий удар), затем движение системы шар-пуля на стержне.
Процесс столкновения пули и шара. Так как удар неупругий, то для нахождения скорости системы шар-пуля воспользуемся законом сохранения импульса (рис. 1):
\[0X:\; \; m_{1} \cdot \upsilon _{10} =\left(m_{1} +m_{2} \right)\cdot \upsilon _{x} ,\; \; \upsilon =\upsilon _{x} =\frac{m_{1} \cdot \upsilon _{10} }{m_{1} +m_{2} } .\; \; \; (1).\]
Процесс движения системы шар-пуля на стержне. Силой сопротивления, по умолчанию, пренебрегаем, поэтому можем применять закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем высоту, на которой находится шар в нижнем положении (рис. 2). Полная механическая энергия системы шар-пуля в начальном состоянии
\[E_{0} =E_{k0} =\frac{\left(m_{1} +m_{2} \right)\cdot \upsilon _{}^{2} }{2} =\frac{m_{1} +m_{2} }{2} \cdot \left(\frac{m_{1} \cdot \upsilon _{10} }{m_{1} +m_{2} } \right)^{2} =\frac{m_{1}^{2} \cdot \upsilon _{10}^{2} }{2\cdot \left(m_{1} +m_{2} \right)} .\]
Полная механическая энергия системы шар-пуля в конечном состоянии
\[E=\left(m_{1} +m_{2} \right)\cdot g\cdot h.\]
Так как нет внешних сил, то запишем закон сохранения механической энергии и решим полученное уравнение:
\[\frac{m_{1}^{2} \cdot \upsilon _{10}^{2} }{2\cdot \left(m_{1} +m_{2} \right)} =\left(m_{1} +m_{2} \right)\cdot g\cdot h,\; \; \upsilon _{10}^{} =\sqrt{\frac{2\cdot \left(m_{1} +m_{2} \right)^{2} \cdot g\cdot h}{m_{1}^{2} } } =\frac{m_{1} +m_{2} }{m_{1} } \sqrt{2\cdot g\cdot h} .\]
1 вариант: υ₁₀ = 142 м/с.

2 вариант: υ₁₀ = 136 м/с.