Найти показатель адиабаты для смеси газов

[Антон Огурцевич]

Найти показатель адиабаты для смеси газов, содержащей m = 3,2 кг кислорода O₂ и m = 4,4 кг углекислого газа CO₂. Сделать рисунок.

[Эдуард]

Решение
Показатель адиабаты определяется по формуле \[ \gamma =\frac{{{c}_{p}}}{{{c}_{V}}}(1).  \]
Найдем молярную теплоемкость при постоянном объеме
\[ \begin{align}
  & \Delta Q={{c}_{V}}m\Delta T,m={{m}_{1}}+{{m}_{2}}, \\
 & \Delta Q=\Delta {{Q}_{1}}+\Delta {{Q}_{2}}, \\
 & \Delta {{Q}_{1}}={{c}_{V1}}{{m}_{1}}\Delta T,\Delta {{Q}_{2}}={{c}_{V2}}{{m}_{2}}\Delta T, \\
 & {{c}_{V}}m\Delta T={{c}_{V1}}{{m}_{1}}\Delta T+{{c}_{V2}}{{m}_{2}}\Delta T, \\
 & {{c}_{V}}=\frac{{{c}_{V1}}{{m}_{1}}+{{c}_{V2}}{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}},(2) \\
 & {{c}_{V1}}=\frac{{{i}_{1}}}{2}\frac{R}{{{M}_{1}}},{{c}_{V2}}=\frac{{{i}_{2}}}{2}\frac{R}{{{M}_{2}}}, \\
 & {{c}_{V}}=\frac{R}{2({{m}_{1}}+{{m}_{2}})}\left( \frac{{{i}_{1}}{{m}_{1}}}{{{M}_{1}}}+\frac{{{i}_{2}}{{m}_{2}}}{{{M}_{2}}} \right).(3) \\
\end{align}  \]
По аналогии с (2) и (3) получим молярную теплоемкость при постоянном давлении
\[ \begin{align}
  & {{c}_{p}}=\frac{{{c}_{p1}}{{m}_{1}}+{{c}_{p2}}{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}, \\
 & {{c}_{p1}}=\frac{({{i}_{1}}+2)}{2}\frac{R}{{{M}_{1}}},{{c}_{p2}}=\frac{({{i}_{2}}+2)}{2}\frac{R}{{{M}_{2}}}, \\
 & {{c}_{p}}=\frac{R}{2({{m}_{1}}+{{m}_{2}})}\left( \frac{({{i}_{1}}+2){{m}_{1}}}{{{M}_{1}}}+\frac{({{i}_{2}}+2){{m}_{2}}}{{{M}_{2}}} \right).(4) \\
\end{align} \]
Подставляем (3) и (4) в (1)
\[ \gamma =\frac{{{c}_{p}}}{{{c}_{V}}}=\frac{\frac{R}{2({{m}_{1}}+{{m}_{2}})}\left( \frac{({{i}_{1}}+2){{m}_{1}}}{{{M}_{1}}}+\frac{({{i}_{2}}+2){{m}_{2}}}{{{M}_{2}}} \right)}{\frac{R}{2({{m}_{1}}+{{m}_{2}})}\left( \frac{{{i}_{1}}{{m}_{1}}}{{{M}_{1}}}+\frac{{{i}_{2}}{{m}_{2}}}{{{M}_{2}}} \right)}=\frac{\frac{({{i}_{1}}+2){{m}_{1}}}{{{M}_{1}}}+\frac{({{i}_{2}}+2){{m}_{2}}}{{{M}_{2}}}}{\frac{{{i}_{1}}{{m}_{1}}}{{{M}_{1}}}+\frac{{{i}_{2}}{{m}_{2}}}{{{M}_{2}}}}.(5) \]
Для кислорода O₂ - i₁=5, для углекислого газа CO₂ – i₂=6. Подставляем все данные в (6)
\[ \gamma =\frac{\frac{({{i}_{1}}+2){{m}_{1}}}{{{M}_{1}}}+\frac{({{i}_{2}}+2){{m}_{2}}}{{{M}_{2}}}}{\frac{{{i}_{1}}{{m}_{1}}}{{{M}_{1}}}+\frac{{{i}_{2}}{{m}_{2}}}{{{M}_{2}}}}=\frac{\frac{(5+2)3,2}{32\cdot {{10}^{-3}}}+\frac{(6+2)4,4}{44\cdot {{10}^{-3}}}}{\frac{5\cdot 3,2}{32\cdot {{10}^{-3}}}+\frac{6\cdot 4,4}{44\cdot {{10}^{-3}}}}=\frac{700+800}{500+600}=1,36. \]
Ответ: 1,36.