Бесконечная тонкая прямая нить

[Антон Огурцевич]

60. Бесконечная тонкая прямая нить заряжена с линейной плотностью тау = 1 нКл/м. Определить напряжённость поля Е в точке, удалённой на расстояние r = 0,1 м от нити. Указать направление градиента потенциала dфи/dr. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
По теореме Гаусса поток вектора напряжённости электрического поля через любую произвольно выбранную замкнутую поверхность пропорционален заключённому внутри этой поверхности электрическому заряду:

\[ \begin{align}
  & {{\Phi }_{E}}=\frac{Q}{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}(1),{{\Phi }_{E}}=\oint{{{E}_{n}}}\cdot dS=E\cdot S=E\cdot 2\cdot \pi \cdot r\cdot l(2), \\
 & Q=\tau \cdot l(3),\frac{Q}{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}=E\cdot 2\cdot \pi \cdot r\cdot l,\frac{\tau \cdot l}{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}=E\cdot 2\cdot \pi \cdot r\cdot l,E=\frac{\tau }{2\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot r}(1). \\
\end{align} \]

Где: ε = 1 – диэлектрическая проницаемость воздуха, ε₀ = 8,854∙10^-12 Ф/м – электрическая постоянная.

\[ \begin{align}
  & E=\frac{1\cdot {{10}^{-9}}}{2\cdot 3,14\cdot 1\cdot 8,85\cdot {{10}^{-12}}\cdot 0,1}=180. \\
 & E=-\frac{d\varphi }{dr},\,E=-grad\varphi . \\
\end{align} \]

Знак минус в уравнении показывает, что вектор градиента потенциала направлен в противоположную сторону относительно вектора напряжённости.
Ответ: 180 В/м.