Шар радиусом

[Антон Огурцевич]

1. 17. Шар радиусом R = 10 см заряжен равномерно с объёмной плотностью ρ = 10 нКл/м³. Определить напряжённость электростатического поля: 1) на расстоянии R₁ = 5 см от центра шара; 2) на расстоянии R₂ = 15 см от центра шара. Построить зависимость Е(R). Ответ: 1) 18,8 В/м; 2) 16,7 В/м. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Объёмную плотность энергии шара определим по формуле:

\[ \rho =\frac{q}{V}(1),V=\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot {{R}^{3}}(2),q=\rho \cdot \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot {{R}^{3}}(3). \]

Напряженность поля шара, вычисленная с помощью теоремы Остроградского –Гаусса:

\[ \begin{align}
  & E=\frac{q\cdot r}{4\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{R}^{3}}}=\frac{\rho \cdot r}{3\cdot {{\varepsilon }_{0}}},(r<R), \\
 & E=\frac{q}{4\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{R}^{2}}},(r=R), \\
 & E=\frac{q}{4\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{r}^{2}}},(r>R). \\
\end{align} \]

1) на расстоянии r₁ = 5 см от центра шара:

\[ {{r}_{1}}<R,E=\frac{10\cdot {{10}^{-9}}\cdot 5\cdot {{10}^{-2}}}{3\cdot 8,85\cdot {{10}^{-12}}}=18,8. \]

2) на расстоянии r₂ = 15 см от центра шара:

\[ E=\frac{k\cdot \left| q \right|}{r_{2}^{2}}=\frac{k\cdot \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot {{R}^{3}}\cdot \rho }{r_{2}^{2}}.E=\frac{9\cdot {{10}^{9}}\cdot \frac{4}{3}\cdot 3,14\cdot {{(10\cdot {{10}^{-2}})}^{3}}\cdot 10\cdot {{10}^{-9}}}{{{(15\cdot {{10}^{-2}})}^{2}}}=16,7.
 \]

k = 9∙10⁹ Н∙м² / Кл², ε₀ = 8,854∙10^-12 Ф/м – электрическая постоянная.
 Ответ: 1) 18,8 В/м; 2) 16,7 В/м.