Внутренний цилиндрический проводник

[Антон Огурцевич]

1. 19. Внутренний цилиндрический проводник длинного прямолинейного коаксиального провода радиусом R = 1,5 мм заряжен с линейной плотностью тау₁ = 0,20 нКл/м. Внешний цилиндрический проводник этого провода радиусом R₂ = 3 мм заряжен с линейной плотностью тау₂ = –0,15 нКл/м. Пространство между проводниками заполнено резиной (ε=3). Определить напряжённость электростатического поля в точках, лежащих от оси провода на расстояниях: 1) R₁ = –1 мм; 2) R₂ = 2 мм; 3) R₃ = 5 мм. Ответ: 1) 0; 2) 800 В/м; 3) 180 В/м. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
По теореме Гаусса поток вектора напряжённости электрического поля через любую произвольно выбранную замкнутую поверхность пропорционален заключённому внутри этой поверхности электрическому заряду:\[ \begin{align}
  & {{\Phi }_{E}}=\frac{Q}{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}(1),{{\Phi }_{E}}=\oint{{{E}_{n}}}\cdot dS=E\cdot S=E\cdot 2\cdot \pi \cdot r\cdot l(2), \\
 & Q=\tau \cdot l(3),\frac{Q}{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}=E\cdot 2\cdot \pi \cdot r\cdot l,\frac{\tau \cdot l}{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}=E\cdot 2\cdot \pi \cdot r\cdot l,E=\frac{\tau }{2\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot r}(1). \\
\end{align} \]1). Определим напряжённость электростатического поля в точках, лежащих от оси провода на расстояниях R₁ = -1мм, радиус внутреннего цилиндрического проводника R = 1,5 мм то зарядов в точках на расстоянии R₁ от оси нет.
Q = 0, Е₁ = 0.
2). Определим напряжённость электростатического поля в точках, лежащих от оси провода на расстояниях R₂ = 2 мм, внешний цилиндрический проводник радиусом 3 мм электрическое поле в точках расстояниях R₂ не создает.

\[ E=\frac{{{\tau }_{1}}}{2\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{R}_{2}}}(2).E=\frac{0,2\cdot {{10}^{-9}}}{2\cdot 3,14\cdot 3\cdot 8,85\cdot {{10}^{-12}}\cdot 2\cdot {{10}^{-3}}}=599,7.
 \]

Где: ε = 3 – диэлектрическая проницаемость резины, ε₀ = 8,854∙10^-12 Ф/м – электрическая постоянная.
Е = 600 В/м.
3). Определим напряжённость электростатического поля в точках, лежащих от оси провода на расстояниях R₃ = 5 мм.

\[ \begin{align}
  & \vec{E}={{{\vec{E}}}_{1}}+{{{\vec{E}}}_{2}}.Ox:E={{E}_{1}}-{{E}_{2}}(3),{{E}_{1}}=\frac{{{\tau }_{1}}}{2\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{R}_{3}}}(4),{{E}_{2}}=\frac{\left| {{\tau }_{2}} \right|}{2\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{R}_{3}}}(5), \\
 & E=\frac{{{\tau }_{1}}}{2\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{R}_{3}}}-\frac{\left| {{\tau }_{2}} \right|}{2\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{R}_{3}}}=\frac{{{\tau }_{1}}-\left| {{\tau }_{2}} \right|}{2\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{R}_{3}}}(6). \\
 & E=\frac{0,2\cdot {{10}^{-9}}-0,15\cdot {{10}^{-9}}}{2\cdot 3,14\cdot 1\cdot 8,85\cdot {{10}^{-12}}\cdot 5\cdot {{10}^{-3}}}=180. \\
\end{align}
 \]

Где: ε = 1 – диэлектрическая проницаемость воздуха, ε₀ = 8,854∙10^-12 Ф/м – электрическая постоянная.
Ответ: 1) 0; 2) 600 В/м; 3) 180 В/м.