Электростатическое поле создаётся шаром радиусом

[Антон Огурцевич]

1. 38. Электростатическое поле создаётся шаром радиусом R = 8 см, равномерно заряженным с объёмной плотностью ρ = 10 нКл/м³. Определить разность потенциалов между двумя точками этого поля, лежащими на расстоянии R₁ = 10 см и R₂ = 15 см от центра шара. Ответ:  0,64 В. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Объёмную плотность энергии шара определим по формуле:

\[ \rho =\frac{q}{V}(1),V=\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot {{R}^{3}}(2),q=\rho \cdot \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot {{R}^{3}}(3). \]

Напряженность поля шара, вычисленная с помощью теоремы Остроградского –Гаусса в нашем случае (r > R):

\[ \begin{align}
  & E=\frac{q\cdot r}{4\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{R}^{3}}}=\frac{\rho \cdot r}{3\cdot {{\varepsilon }_{0}}},(r<R), \\
 & E=\frac{q}{4\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{R}^{2}}},(r=R), \\
 & E=\frac{q}{4\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{r}^{2}}}=\frac{k\cdot q}{{{r}^{2}}},(r>R). \\
\end{align}
 \]

Разность потенциалов между точками, лежащими на расстояниях R₁ и R₂ от центра сферы равна:

\[ \begin{align}
  & {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}}=\int\limits_{{{R}_{1}}}^{{{R}_{2}}}{Edr=}\int\limits_{{{R}_{1}}}^{{{R}_{2}}}{\frac{k\cdot q}{{{r}^{2}}}dr=}\int\limits_{{{R}_{1}}}^{{{R}_{2}}}{\frac{k\cdot \rho \cdot \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot {{R}^{3}}}{{{r}^{2}}}dr=\left. k\cdot \rho \cdot \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot {{R}^{3}}(\frac{{{r}^{-2+1}}}{-2+1}) \right|}_{{{R}_{1}}}^{{{R}_{2}}}= \\
 & k\cdot \rho \cdot \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot {{R}^{3}}\cdot (\frac{1}{{{R}_{1}}}-\frac{1}{{{R}_{2}}})=k\cdot \rho \cdot \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot {{R}^{2}}\cdot (\frac{{{R}_{2}}-{{R}_{1}}}{{{R}_{1}}\cdot {{R}_{2}}}). \\
 & {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}}=9\cdot {{10}^{9}}\cdot 10\cdot {{10}^{-9}}\cdot \frac{4}{3}\cdot 3,14\cdot {{(8\cdot {{10}^{-2}})}^{3}}\cdot (\frac{15\cdot {{10}^{-2}}-10\cdot {{10}^{-2}}}{10\cdot {{10}^{-2}}\cdot 15\cdot {{10}^{-2}}})=0,643. \\
\end{align} \]

k = 9∙109 Н∙м² / Кл², ε₀ = 8,854∙10^-12 Ф/м – электрическая постоянная.
Ответ: 0,643 В.