Электростатическое поле создаётся бесконечным цилиндром радиусом

[Антон Огурцевич]

1. 40. Электростатическое поле создаётся бесконечным цилиндром радиусом 8 мм, равномерно заряженным с линейной плотностью тау = 10 нКл/м. Определить разность потенциалов между двумя точками этого поля, лежащими на расстоянии R₁ = 2 мм и R₂ = 7 мм от поверхности этого цилиндра. Ответ: 73 В. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
По теореме Гаусса поток вектора напряжённости электрического поля через любую произвольно выбранную замкнутую поверхность пропорционален заключённому внутри этой поверхности электрическому заряду:

\[ \begin{align}
  & {{\Phi }_{E}}=\frac{Q}{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}(1),{{\Phi }_{E}}=\oint{{{E}_{n}}}\cdot dS=E\cdot S=E\cdot 2\cdot \pi \cdot r\cdot l(2), \\
 & Q=\tau \cdot l(3),\frac{Q}{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}=E\cdot 2\cdot \pi \cdot r\cdot l,\frac{\tau \cdot l}{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}=E\cdot 2\cdot \pi \cdot r\cdot l,E=\frac{\tau }{2\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot r}(1). \\
\end{align} \]

Где: ε = 1 – диэлектрическая проницаемость воздуха, ε₀ = 8,854∙10^-12 Ф/м – электрическая постоянная.
Разность потенциалов между точками, лежащими на расстояниях R₁ и R₂ от поверхности цилиндра равна:

\[ \begin{align}
  & {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}}=\int\limits_{R+{{R}_{1}}}^{R+{{R}_{2}}}{Edr=}\int\limits_{R+{{R}_{1}}}^{R+{{R}_{2}}}{\frac{\tau }{2\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot r}dr=\frac{\tau }{2\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}}\cdot \ln \frac{R+{{R}_{2}}}{R+{{R}_{1}}}. \\
 & {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}}=\frac{10\cdot {{10}^{-9}}}{2\cdot 3,14\cdot 1\cdot 8,85\cdot {{10}^{-12}}}\cdot \ln \frac{8\cdot {{10}^{-3}}+7\cdot {{10}^{-3}}}{8\cdot {{10}^{-3}}+2\cdot {{10}^{-3}}}=71,97. \\
\end{align} \]

Ответ: 72 В.