Свободные заряды равномерно распределены с объёмной плотностью

[Антон Огурцевич]

1. 47. Свободные заряды равномерно распределены с объёмной плотностью ρ = 5 нКл/м³ по шару радиусом R = 10 см из однородного изотропного диэлектрика с проницаемостью ε = 5. Определить напряжённость электростатического поля на расстояниях R₁ = 5 см и R₂ = 15 см от центра шара. Ответ: Е₁ = 1,88 В/м, Е₂ = 8,37 В/м. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Объёмную плотность энергии шара определим по формуле:

\[ \rho =\frac{q}{V}(1),V=\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot {{R}^{3}}(2),q=\rho \cdot \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot {{R}^{3}}(3). \]

Напряженность поля шара, вычисленная с помощью теоремы Остроградского –Гаусса :

\[ \begin{align}
  & E=\frac{q\cdot r}{4\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{R}^{3}}}=\frac{\rho \cdot r}{3\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}},(r<R), \\
 & E=\frac{q}{4\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{R}^{2}}},(r=R), \\
 & E=\frac{q}{4\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{r}^{2}}}=\frac{k\cdot q}{{{r}^{2}}},(r>R). \\
\end{align} \]

1). Определим напряжённость электростатического поля на расстоянии R₁ = 5 см от центра шара в нашем случае (R₁ < R)

\[ .{{E}_{1}}=\frac{\rho \cdot {{R}_{1}}}{3\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}.{{E}_{1}}=\frac{5\cdot {{10}^{-9}}\cdot 5\cdot {{10}^{-2}}}{3\cdot 5\cdot 8,85\cdot {{10}^{-12}}}=1,883.
 \]

2). Определить напряжённость электростатического поля на расстоянии R₂ = 15 см от центра шара в нашем случае (R₂ > R).

\[ {{E}_{2}}=\frac{k\cdot q}{R_{2}^{2}}=\frac{k\cdot \rho \cdot \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot {{R}^{3}}}{R_{2}^{2}}=\frac{9\cdot {{10}^{9}}\cdot 5\cdot {{10}^{-9}}\cdot \frac{4}{3}\cdot 3,14\cdot {{10}^{-3}}}{{{0,15}^{2}}}=8,37.
 \]

ε = 5, ε₀ = 8,854∙10^-12 Ф/м – электрическая постоянная.
Ответ: Е₁ = 1,88 В/м, Е₂ = 8,37 В/м.