Решение.
Объемную плотность энергии можно определить по формулам:
\[ \begin{align}
& w=\frac{dW}{dV}\,(1),w=\frac{1}{2}\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{E}^{2}}(2),D=\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot E(3),E=\frac{D}{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}},w=\frac{1}{2}\cdot \frac{{{D}^{2}}}{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}(4). \\
& \\
\end{align} \]
Е – напряженность электрического поля шара,
D – электрическое смещение.
ε = 3,0 – диэлектрическая проницаемость эбонита, ε
0 = 8,854∙10
-12 Ф/м – электрическая постоянная.
dV – элемент объема, элемент объема выразим через радиус элементарного сферического слоя.
dV = 4∙π∙r2∙dr (5).
Объёмную плотность энергии шара определим по формуле:
\[ \rho =\frac{q}{V}(6),V=\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot {{r}^{3}}(7),q=\rho \cdot \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot {{r}^{3}}(8). \]
По теореме Гаусса поток вектора напряжённости электрического поля через любую произвольно выбранную замкнутую поверхность пропорционален заключённому внутри этой поверхности электрическому заряду:
\[ \oint{D}\cdot dS=\int{q\cdot dV.D\cdot 4\cdot \pi \cdot {{r}^{2}}}=\rho \cdot \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot {{r}^{3}},D=\frac{\rho \cdot r}{3}(9). \]
\[ \begin{align}
& dW=wdV,dW=\frac{{{D}^{2}}}{2\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}dV,dW=\frac{{{\rho }^{2}}\cdot {{r}^{2}}}{18\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot 4\cdot \pi \cdot {{r}^{2}}dr. \\
& W=\int\limits_{0}^{R}{\frac{{{\rho }^{2}}}{18\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot 4\cdot \pi \cdot {{r}^{4}}dr}=\left. \frac{{{\rho }^{2}}}{18\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot 4\cdot \pi \cdot \frac{{{r}^{5}}}{5} \right|_{0}^{R}=\frac{{{\rho }^{2}}}{18\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot 4\cdot \pi \cdot \frac{{{R}^{5}}}{5}. \\
\end{align}
\]
\[ W=\frac{4\cdot 3,14\cdot {{(10\cdot {{10}^{-9}})}^{2}}\cdot {{(5\cdot {{10}^{-2}})}^{5}}}{18\cdot 3\cdot 8,85\cdot {{10}^{-12}}\cdot 5}=16,426\cdot {{10}^{-14}}. \]
Ответ: 0,164∙10
-12 Дж, 0,164 пДж.
