К пластинам плоского воздушного конденсатора приложена разность потенциалов

[Антон Огурцевич]

1. 67. К пластинам плоского воздушного конденсатора приложена разность потенциалов U₁ = 500 В. Площадь пластин S = 200 см², расстояние между ними d₁ = 1,5 мм. Пластины раздвинули до расстояния d₂ = 15 мм. Найти энергию W₁ и W₂ конденсатора до и после раздвижения пластин, если источник напряжения перед раздвижением: 1) отключался; 2) не отключался. Ответ: 1) W₁ = 14,8 мкДж, W₂ = 148 мкДж; 2) W₁ = 14,8 мкДж; W₂ = 1,48 мкДж. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
1). Найдем энергию W₁ и W₂ конденсаторов до и после раздвижения пластин, если источник напряжения перед раздвижением отключался.
Если конденсатор отключили от источника питания, заряд на обкладках конденсатора при изменении расстояние между пластинами не изменяется.

\[ \begin{align}
  & {{W}_{1}}=\frac{q_{1}^{2}}{2\cdot {{C}_{1}}}(1),{{W}_{2}}=\frac{q_{2}^{2}}{2\cdot {{C}_{2}}}(2),{{q}_{1}}={{q}_{2}}=q(3),q={{C}_{1}}\cdot {{U}_{1}}(4), \\
 & {{C}_{1}}=\frac{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot S}{{{d}_{1}}}(5),{{C}_{2}}=\frac{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot S}{{{d}_{2}}}(6),q=\frac{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot S}{{{d}_{1}}}\cdot {{U}_{1}}\,(7). \\
 & {{W}_{1}}=\frac{{{(\frac{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot S}{{{d}_{1}}}\cdot {{U}_{1}})}^{2}}\,}{2\cdot \frac{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot S}{{{d}_{1}}}}=\frac{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot S\cdot U_{1}^{2}}{{{d}_{1}}\cdot 2}(8),{{W}_{2}}=\frac{{{(\frac{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot S}{{{d}_{1}}}\cdot {{U}_{1}})}^{2}}\,}{2\cdot \frac{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot S}{{{d}_{2}}}}=\frac{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot S\cdot U_{1}^{2}\cdot {{d}_{2}}}{d_{1}^{2}\cdot 2}(9). \\
\end{align} \]

Где: ε = 1 – диэлектрическая проницаемость воздуха, ε₀ = 8,854∙10^-12 Ф/м – электрическая постоянная.

\[ \begin{align}
  & {{W}_{1}}=\frac{1\cdot 8,85\cdot {{10}^{-12}}\cdot 200\cdot {{10}^{-4}}\cdot {{500}^{2}}}{1,5\cdot {{10}^{-3}}\cdot 2}=14,75\cdot {{10}^{-6}}. \\
 & {{W}_{2}}=\frac{1\cdot 8,85\cdot {{10}^{-12}}\cdot 200\cdot {{10}^{-4}}\cdot {{500}^{2}}\cdot 15\cdot {{10}^{-3}}}{{{(1,5\cdot {{10}^{-3}})}^{2}}\cdot 2}=147,5\cdot {{10}^{-6}}. \\
\end{align} \]

2) Найдем энергию W1 и W2 конденсаторов до и после раздвижения пластин, если источник напряжения перед раздвижением не отключался. Если конденсатор не отключали от источника питания, напряжение на обкладках конденсатора при изменении расстояние между пластинами не изменяется.

\[ \begin{align}
  & {{W}_{1}}=\frac{{{C}_{1}}\cdot U_{1}^{2}}{2}(1),{{W}_{2}}=\frac{{{C}_{2}}\cdot U_{2}^{2}}{2}(2),{{U}_{1}}={{U}_{2}}=U(3),{{C}_{1}}=\frac{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot S}{{{d}_{1}}}(4), \\
 & {{C}_{2}}=\frac{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot S}{{{d}_{2}}}(5),\,{{W}_{1}}=\frac{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot S\cdot U_{1}^{2}}{{{d}_{1}}\cdot 2}\,(6),{{W}_{2}}=\frac{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot S\cdot U_{1}^{2}}{{{d}_{2}}\cdot 2}\,(7). \\
\end{align} \]

\[ \begin{align}
  & {{W}_{1}}=\frac{1\cdot 8,85\cdot {{10}^{-12}}\cdot 200\cdot {{10}^{-4}}\cdot {{500}^{2}}}{1,5\cdot {{10}^{-3}}\cdot 2}=14,75\cdot {{10}^{-6}}. \\
 & {{W}_{2}}=\frac{1\cdot 8,85\cdot {{10}^{-12}}\cdot 200\cdot {{10}^{-4}}\cdot {{500}^{2}}}{15\cdot {{10}^{-3}}\cdot 2}=1,475\cdot {{10}^{-6}}. \\
\end{align}
 \]

Ответ: 1) W₁ = 14,8 мкДж, W₂ = 148 мкДж; 2) W₁ = 14,8 мкДж; W₂ = 1,48 мкДж.