В цепь, состоящую из батареи и резистора сопротивлением

[Антон Огурцевич]

2. 15. В цепь, состоящую из батареи и резистора сопротивлением R = 8 Ом, включают вольтметр, сопротивление которого R_V = 800 Ом, один раз последовательно резистору, другой раз — параллельно. Определить внутреннее сопротивление батареи, если показания вольтметра в обоих случаях одинаковы. Ответ: 0,08 Ом. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Рассмотрим случай когда резистор и вольтметр соединены последовательно.
Запишем закон Ома для полной цепи.

Е = I₁∙(R + R_V) + I₁∙r   (1),
U_V = I₁∙R_V    (2).

Рассмотрим случай когда резистор и вольтметр соединены параллельно.
Запишем закон Ома для полной цепи.

\[ \begin{align}
  & E={{I}_{2}}\cdot (\frac{R\cdot {{R}_{V}}}{R+{{R}_{V}}})+{{I}_{2}}\cdot r(3), \\
 & {{U}_{V}}={{I}_{2}}\cdot (\frac{R\cdot {{R}_{V}}}{R+{{R}_{V}}})(4). \\
\end{align} \]

Решим систему уравнений (1) – (4), определим внутреннее сопротивление батареи.

\[ \begin{align}
  & {{I}_{1}}\cdot {{R}_{V}}={{I}_{2}}\cdot (\frac{R\cdot {{R}_{V}}}{R+{{R}_{V}}}),{{I}_{1}}={{I}_{2}}\cdot (\frac{R\cdot {{R}_{V}}}{R+{{R}_{V}}})\cdot \frac{1}{{{R}_{V}}},{{I}_{1}}={{I}_{2}}\cdot (\frac{R}{R+{{R}_{V}}})\,(5), \\
 & {{I}_{1}}\cdot (R+{{R}_{V}})+{{I}_{1}}\cdot r={{I}_{2}}\cdot (\frac{R\cdot {{R}_{V}}}{R+{{R}_{V}}})+{{I}_{2}}\cdot r, \\
 & {{I}_{2}}\cdot (\frac{R}{R+{{R}_{V}}})\cdot (R+{{R}_{V}})+{{I}_{2}}\cdot (\frac{R}{R+{{R}_{V}}})\cdot r={{I}_{2}}\cdot (\frac{R\cdot {{R}_{V}}}{R+{{R}_{V}}})+{{I}_{2}}\cdot r, \\
 & R+(\frac{R}{R+{{R}_{V}}})\cdot r=(\frac{R\cdot {{R}_{V}}}{R+{{R}_{V}}})+r,r\cdot (1-(\frac{R}{R+{{R}_{V}}}))=R-(\frac{R\cdot {{R}_{V}}}{R+{{R}_{V}}}), \\
 & r=\frac{R-(\frac{R\cdot {{R}_{V}}}{R+{{R}_{V}}})}{1-(\frac{R}{R+{{R}_{V}}})}.r=\frac{8-\frac{8\cdot 800}{800+8}}{1-\frac{8}{800+8}}=0,08. \\
\end{align} \]

Ответ: 0,08 Ом.