Тонкое кольцо массой

[Антон Огурцевич]

4. 4.   Тонкое кольцо массой 10 г и радиусом R = 8 см несёт заряд, равномерно распределённый с линейной плотностью тау = 10 нКл/м. Кольцо равномерно вращается с частотой n = 15 с^-1 относительно оси, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через её центр. Определить: 1) магнитный момент p_m кругового тока, создаваемого кольцом; 2) отношение магнитного момента к моменту импульса кольца. Ответ: 1) 1,52 нА•м²; 2) 251 нКл/кг. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Магнитный момент кругового тока определяется по формуле:

\[ \begin{align}
  & {{P}_{m}}=I\cdot S(1),S=\pi \cdot {{R}^{2}}(2),I=\frac{q}{t}\,(3),q=\tau \cdot C(4),C=2\cdot \pi \cdot R\,(5), \\
 & t=T=\frac{1}{n}(6),{{P}_{m}}=\tau \cdot 2\cdot \pi \cdot R\cdot n\cdot \pi \cdot {{R}^{2}}=\tau \cdot 2\cdot {{\pi }^{2}}\cdot {{R}^{3}}\cdot n(7). \\
 & {{P}_{m}}=10\cdot {{10}^{-9}}\cdot 2\cdot {{3,14}^{2}}\cdot {{0,08}^{3}}\cdot 15=1,5\cdot {{10}^{-9}}. \\
\end{align} \]

Р_m = 1,5∙10^-9 А∙м².
2) Определим отношение магнитного момента к моменту импульса кольца.
Момент импульса кольца определим по формуле:

\[ \begin{align}
  & L=m\cdot \upsilon \cdot R(8),\upsilon =2\cdot \pi \cdot n\cdot R\,(9),\,L=m\cdot 2\cdot \pi \cdot n\cdot R\cdot R=m\cdot 2\cdot \pi \cdot n\cdot {{R}^{2}}(10), \\
 & \frac{{{P}_{m}}}{p}=\frac{\tau \cdot 2\cdot {{\pi }^{2}}\cdot n\cdot {{R}^{3}}}{m\cdot 2\cdot \pi \cdot n\cdot {{R}^{2}}}=\frac{\tau \cdot \pi \cdot R}{m}.\frac{{{P}_{m}}}{p}=\frac{10\cdot {{10}^{-9}}\cdot 3,14\cdot 0,08}{0,01}=251,2\cdot {{10}^{-9}}. \\
\end{align}
 \]

Ответ: 1) 1,52 нА∙м²; 2) 251 нКл/кг.