Решение.
Для решения задачи используем закон сохранения энергии. Потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию. Кинетическая энергия состоит из энергии поступательного движения и энергии вращательного движения.
\[ m\cdot g\cdot h=\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}+\frac{J\cdot {{\omega }^{2}}}{2}\ \ \ (1). \]
h – высота с которой спускается тело (см. рис.), υ – скорость тела через время
t, J – момент инерции тела, ω – угловая скорость вращения тела.
В конце спуска угловая скорость связана с линейной скоростью:
\[ \omega =\frac{\upsilon }{R}\ \ \ (2). \]
Высоту с которой скатывается тело определим по формуле:
\[ h=l\cdot \sin \alpha \ \ \ (3).
\]
Подставим (3) и (2) в (1) определим момент инерции колеса:
\[ \begin{align}
& m\cdot g\cdot l\cdot \sin \alpha =\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}+\frac{J}{2}\cdot {{(\frac{\upsilon }{R})}^{2}}\ ,\frac{J}{2}\cdot {{(\frac{\upsilon }{R})}^{2}}=m\cdot g\cdot l\cdot \sin \alpha -\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}, \\
& J=\frac{2\cdot {{R}^{2}}\cdot m\cdot g\cdot l\cdot \sin \alpha -\frac{2\cdot {{R}^{2}}\cdot m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}}{{{\upsilon }^{2}}}=\frac{2\cdot {{R}^{2}}\cdot m\cdot g\cdot l\cdot \sin \alpha -{{R}^{2}}\cdot m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{{{\upsilon }^{2}}}, \\
& J=\frac{{{R}^{2}}\cdot m\cdot (2\cdot g\cdot l\cdot \sin \alpha -{{\upsilon }^{2}})}{{{\upsilon }^{2}}}. \\
& J=\frac{{{(5\cdot {{10}^{-2}})}^{2}}\cdot 2\cdot (2\cdot 10\cdot 2\cdot 0,5-{{2,5}^{2}})}{{{2,5}^{2}}}=11\cdot {{10}^{-3}}. \\
\end{align} \]
J = 11 мкг∙м
2.
