Решение.
Рассмотрим процесс откачки газа из сосуда. Будем считать, что температура откачиваемого газа не изменяется и в процессе расширения масса газа не изменяется, процесс считаем изотермическим.
Рассмотрим первый оборот роторного насоса. Запишем уравнение изотермического процесса.
\[ {{p}_{0}}\cdot {{V}_{0}}={{p}_{1}}\cdot ({{V}_{0}}+V)(1),{{p}_{1}}=\frac{{{p}_{0}}\cdot {{V}_{0}}}{({{V}_{0}}+V)}(2). \]
Где:
р0 – первоначальное давление в сосуде,
V0 – объем сосуда из которого откачивают воздух,
V – объем роторного насоса,
р1 – давление в сосуде после первого оборота насоса.
При подсоединении насоса к сосуду объем сосуда увеличивается на величину объема насоса, давление уменьшается. Затем насос отсоединяется газ из насоса выпускают, и опять пустой насос подсоединяют к сосуду, процесс повторяется.
Рассмотрим второй оборот роторного насоса. Запишем уравнение изотермического процесса.
\[ \begin{align}
& {{p}_{1}}\cdot {{V}_{0}}={{p}_{2}}\cdot ({{V}_{0}}+V)(3),{{p}_{2}}=\frac{{{p}_{1}}\cdot {{V}_{0}}}{({{V}_{0}}+V)},{{p}_{2}}={{p}_{0}}\cdot \frac{{{V}_{0}}}{({{V}_{0}}+V)}\frac{{{V}_{0}}}{({{V}_{0}}+V)}, \\
& {{p}_{2}}={{p}_{0}}\cdot {{(\frac{{{V}_{0}}}{{{V}_{0}}+V})}^{2}}(3). \\
\end{align} \]
Рассмотрим третий оборот роторного насоса. Запишем уравнение изотермического процесса.
\[ \begin{align}
& {{p}_{2}}\cdot {{V}_{0}}={{p}_{3}}\cdot ({{V}_{0}}+V)(3),{{p}_{3}}=\frac{{{p}_{2}}\cdot {{V}_{0}}}{({{V}_{0}}+V)},{{p}_{3}}={{p}_{0}}\cdot {{(\frac{{{V}_{0}}}{{{V}_{0}}+V})}^{2}}\cdot \frac{{{V}_{0}}}{({{V}_{0}}+V)}, \\
& {{p}_{3}}={{p}_{0}}\cdot {{(\frac{{{V}_{0}}}{{{V}_{0}}+V})}^{3}}(4). \\
\end{align} \]
Рассмотрим
n оборот роторного насоса. Запишем уравнение изотермического процесса.
\[ \begin{align}
& {{p}_{n-1}}\cdot {{V}_{0}}={{p}_{n}}\cdot ({{V}_{0}}+V)(3),{{p}_{n}}=\frac{{{p}_{n-1}}\cdot {{V}_{0}}}{({{V}_{0}}+V)},{{p}_{n}}={{p}_{0}}\cdot {{(\frac{{{V}_{0}}}{{{V}_{0}}+V})}^{n-1}}\cdot \frac{{{V}_{0}}}{({{V}_{0}}+V)}, \\
& {{p}_{n}}={{p}_{0}}\cdot {{(\frac{{{V}_{0}}}{{{V}_{0}}+V})}^{n}},{{(\frac{{{V}_{0}}+V}{{{V}_{0}}})}^{n}}=\frac{{{p}_{0}}}{{{p}_{n}}},{{(1+\frac{V}{{{V}_{0}}})}^{n}}=\frac{{{p}_{0}}}{{{p}_{n}}}(5).{{p}_{0}}=\rho \cdot g\cdot {{h}_{0}}(6),{{p}_{n}}=\rho \cdot g\cdot {{h}_{n}}(7), \\
& {{(1+\frac{V}{{{V}_{0}}})}^{n}}=\frac{{{h}_{0}}}{{{h}_{n}}}. \\
\end{align}
\]
\[ \begin{align}
& \ln {{(1+\frac{V}{{{V}_{0}}})}^{n}}=\ln \frac{{{h}_{0}}}{h},n\cdot \ln (1+\frac{V}{{{V}_{0}}})=\ln \frac{{{h}_{0}}}{h},n=\frac{\ln \frac{{{h}_{0}}}{h}}{\ln (1+\frac{V}{{{V}_{0}}})}. \\
& n=\frac{\ln \frac{760\cdot {{10}^{-3}}}{0,076\cdot {{10}^{-3}}}}{\ln (1+\frac{0,5\cdot {{10}^{-3}}}{50\cdot {{10}^{-3}}})}=\frac{\ln {{10}^{4}}}{\ln (1,01)}=926. \\
\end{align}
\]
Ответ: 926.
