Репетиционное тестирование 1 этап 2016/2017

[Сергей]

В 2. Вариант 1. Мальчик массой m = 60 кг находится в лифте. Лифт, разгоняясь, движется вниз с ускорением, модуль которого а = 2,0 м/с². Если суммарная площадь соприкосновения подошв мальчика с полом лифта S = 4,0 дм², то давление р, создаваемое мальчиком на пол, равно … кПа.
Решение.
Покажем на рисунке силы которые действуют на мальчика который находится в лифте и ускорение. Для решения задачи используем второй закон Ньютона:

\[ \vec{F}=m\cdot \vec{a}.\ \vec{N}+m\cdot \vec{g}=m\cdot \vec{a}.
 \]

Найдем проекции на ось Оу:

\[ Oy:-N+m\cdot g=m\cdot a,\ N=\ m\cdot (g-a)\ \ \ (1). \]

Давление р, создаваемое мальчиком на пол, определим по формуле:

\[ p=\frac{N}{S}(2).p=\frac{m\cdot (g-a)}{S}p=\frac{60\cdot (10-2)}{4\cdot {{10}^{-2}}}=12000. \]

Ответ: 12 кПа. Вариант 2. Ответ: 18 кПа.

[Сергей]

В 3. Вариант 1.Шайба, модуль начальной скорости которой υ₀ = 12 м/с, прошла до удара о борт хоккейной площадки путь s₁ = 25 м. Модуль скорости шайбы сразу после удара о борт не изменился. Если коэффициента трения скольжения между шайбой и горизонтальной поверхностью льда μ = 0,12, то путь s₂, пройденный шайбой после удара о борт до остановки, равен … м.
Решение.
Определим скорость шайбы в момент удара о борт хоккейной площадки. Покажем силы которые действуют на шайбу и ускорение. Запишем второй закон Ньютона.

\[ \vec{F}=m\cdot \vec{a},\ m\cdot \vec{g}+\vec{N}+{{\vec{F}}_{TR}}=m\cdot \vec{a}. \]

Найдем проекции на ось Ох и Оу, учитываем, что скорость шайбы уменьшается:

\[ \begin{align}
  & Ox:\ {{F}_{TR}}=m\cdot a(1),\, \\
 & Oy:-m\cdot g+N=0,N=m\cdot g(2), \\
 & {{F}_{TR}}=\mu \cdot N(3), \\
 & {{s}_{1}}=\frac{\upsilon _{1}^{2}-\upsilon _{0}^{2}}{-2\cdot a}(4). \\
\end{align} \]

(2) подставим в (3), (3) подставим в (1), из (4) выразим ускорение и подставим в (1) определим скорость шайбы в момент удара о борт хоккейной площадки.

\[ a=\frac{\upsilon _{1}^{2}-\upsilon _{0}^{2}}{-2\cdot {{s}_{1}}},\mu \cdot m\cdot g=m\cdot \frac{\upsilon _{1}^{2}-\upsilon _{0}^{2}}{-2\cdot {{s}_{1}}},\mu \cdot g=\frac{\upsilon _{1}^{2}-\upsilon _{0}^{2}}{-2\cdot {{s}_{1}}},{{\upsilon }_{1}}=\sqrt{\upsilon _{0}^{2}-2\cdot \mu \cdot g\cdot {{s}_{1}}}(5).

 \]

Определим путь пройденный шайбой после удара о борт до остановки. Покажем силы которые действуют на шайбу и ускорение. Запишем второй закон Ньютона.

\[ \vec{F}=m\cdot \vec{a},\ m\cdot \vec{g}+\vec{N}+{{\vec{F}}_{TR}}=m\cdot \vec{a}.
 \]

Найдем проекции на ось Ох и Оу, учитываем, что скорость шайбы уменьшается до остановки υ = 0:

\[ \begin{align}
  & Ox:\ {{F}_{TR}}=m\cdot a(6),\, \\
 & Oy:-m\cdot g+N=0,N=m\cdot g(7), \\
 & {{F}_{TR}}=\mu \cdot N(8), \\
 & s=\frac{-\upsilon _{02}^{2}}{-2\cdot a},s=\frac{\upsilon _{02}^{2}}{2\cdot a},{{\upsilon }_{02}}={{\upsilon }_{1}},{{\upsilon }_{02}}=\sqrt{\upsilon _{0}^{2}-2\cdot \mu \cdot g\cdot {{s}_{1}}},\,s=\frac{\upsilon _{0}^{2}-2\cdot \mu \cdot {{s}_{1}}\cdot g}{2\cdot a}(9). \\
\end{align} \]

(7) подставим в (8 ), (8 ) подставим в (6), из (9) выразим ускорение и подставим в (6) определим путь пройденный шайбой после удара о борт до остановки.

\[ \begin{align}
  & a=\frac{\upsilon _{0}^{2}-2\cdot \mu \cdot {{s}_{1}}\cdot g}{2\cdot s},\mu \cdot m\cdot g=m\cdot \frac{\upsilon _{0}^{2}-2\cdot \mu \cdot {{s}_{1}}\cdot g}{2\cdot s},\mu \cdot g=\frac{\upsilon _{0}^{2}-2\cdot \mu \cdot {{s}_{1}}\cdot g}{2\cdot s}, \\
 & s=\frac{\upsilon _{0}^{2}-2\cdot \mu \cdot {{s}_{1}}\cdot g}{2\cdot \mu \cdot g}(10). \\
 & s=\frac{{{12}^{2}}-2\cdot 0,12\cdot 10\cdot 25}{2\cdot 0,12\cdot 10}=35. \\
\end{align} \]

Ответ: 35 м. Вариант 2. Ответ: 32 м.

[Сергей]

В 4. Вариант 1.На невесомой нерастяжимой нити длиной l = 1,28 м висит небольшой шар массой М = 52 г. Пуля массой m = 8,0 г, летящая горизонтально со скоростью υ₀, попадает в шар и застревает в нем. Если скорость пули была направлена вдоль диаметра шара, то шар совершил полный оборот по окружности в вертикальной плоскости при минимальном значении модуля скорости υ₀ пули, равном … м/с.
Решение.
Рассмотрим процесс столкновения пули и шара (неупругое взаимодействие). Запишем закон сохранения импульса (рис ):

\[ m\cdot {{\vec{\upsilon }}_{0}}=(M+m)\cdot \vec{\upsilon }\ \ \ (1). \]

Найдем проекции на ось Ох:

\[ m\cdot {{\upsilon }_{0}}=(M+m)\cdot \upsilon \ \ \ (1). \]

Рассмотрим процесс движения пули и шара если шар совершил полный оборот по окружности в вертикальной плоскости при минимальном значении модуля скорости υ₀ пули.
Запишем закон сохранения энергии:

\[ \frac{(m+M)\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}=(m+M)\cdot g\cdot 2\cdot R+\ \frac{(m+M)\cdot \upsilon _{1}^{2}}{2}\ \ (2). \]

Шар совершит оборот по окружности в вертикальной плоскости при минимальном значении модуля скорости υ0 пули если сила натяжения нити в верхней точке равна нулю. Определим скорость шара в верхней точке окружности.
Покажем силы которые действуют на шар и ускорение (рис). Запишем второй закон Ньютона.

\[ \vec{F}=(M+m)\cdot \vec{a},\ (M+m)\cdot \vec{g}+{{\vec{F}}_{n}}=(M+m)\cdot \vec{a}. \]

Найдем проекции на ось Оу, ускорение определим учитывая, что шар движется по окружности.

\[ Oy:\,\ -(M+m)\cdot g=(M+m)\cdot a,a=g,a=\frac{\upsilon _{1}^{2}}{R},\upsilon _{1}^{2}=g\cdot R(3). \]

(3) подставим в (2) из (2) выразим скорость шара в момент попадания в него пули, эту скорость подставим в (1) выразим скорость пули.

\[ \begin{align}
  & \frac{(m+M)\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}=(m+M)\cdot g\cdot 2\cdot R+\ \frac{(m+M)\cdot g\cdot R}{2},\frac{{{\upsilon }^{2}}}{2}=g\cdot 2\cdot R+\ \frac{g\cdot R}{2},\upsilon =\sqrt{5\cdot g\cdot R}(4). \\
 & {{\upsilon }_{0}}=\frac{(M+m)\cdot \sqrt{5\cdot g\cdot R}}{m}(5).{{\upsilon }_{0}}=\frac{(52\cdot {{10}^{-3}}+8\cdot {{10}^{-3}})\cdot \sqrt{5\cdot 10\cdot 1,28}}{8\cdot {{10}^{-3}}}=60. \\
\end{align} \]

Ответ: 60 м/с. Вариант 2. Ответ: 160 м/с.

[Сергей]

В 5. Вариант 1.Баллон заполнен газовой смесью, состоящей из азота (М₁ = 28,0 г/моль) и кислорода (М₂ = 32,0 г/моль). Если модуль среднеквадратической скорости молекул азота υ₁ = 510 м/с, то модуль среднеквадратической скорости молекул кислорода υ₂ равен …м/с.
Решение. Смесь газов продолжительное время находится в баллоне, температура этих газов одинакова. Запишем формулу которая выражает зависимость температуры от средней кинетической энергии поступательного движения молекулы газа.

\[ \begin{align}
  & \left\langle {{E}_{k}} \right\rangle =\frac{3}{2}\cdot k\cdot T(1),\frac{{{m}_{0}}\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}=\frac{3}{2}\cdot k\cdot T(2),{{m}_{0}}=\frac{M}{{{N}_{A}}}(3),T=\frac{{{m}_{0}}\cdot {{\upsilon }^{2}}}{3\cdot k}, \\
 & T=\frac{M\cdot {{\upsilon }^{2}}}{3\cdot k\cdot {{N}_{A}}}(4),T=\frac{{{M}_{1}}\cdot \upsilon _{1}^{2}}{3\cdot k\cdot {{N}_{A}}}(5),T=\frac{{{M}_{2}}\cdot \upsilon _{2}^{2}}{3\cdot k\cdot {{N}_{A}}}(6),\frac{{{M}_{1}}\cdot \upsilon _{1}^{2}}{3\cdot k\cdot {{N}_{A}}}=\frac{{{M}_{2}}\cdot \upsilon _{2}^{2}}{3\cdot k\cdot {{N}_{A}}}, \\
 & {{M}_{1}}\cdot \upsilon _{1}^{2}={{M}_{2}}\cdot \upsilon _{2}^{2},{{\upsilon }_{2}}={{\upsilon }_{1}}\cdot \sqrt{\frac{{{M}_{1}}}{{{M}_{2}}}}(7).{{\upsilon }_{2}}=510\cdot \sqrt{\frac{28\cdot {{10}^{-3}}}{32\cdot {{10}^{-3}}}}=477. \\
 &  \\
\end{align} \]

Ответ: 477 м/с. Вариант 2. Ответ: 410 м/с.

[Сергей]

В 6. Вариант 1.На рисунке представлена зависимость температуры t алюминия (с = 920 Дж/кг∙К) от времени τ. Если алюминий в процессе охлаждения от температуры t₁ = 800 °С до температуры кристаллизации t₂ = 661 °С ежесекундно отдавал в окружающую среду количество теплоты |Q₀| = 1,7 кДж, то масса m алюминия равна … кг.
Решение.

Q₁ = с∙m∙(t₂ – t₁)   (1).

Q1 – количество теплоты которое выделяется в окружающую среду в процессе остывания алюминия.
Процесс остывания алюминия от температуры t₁ = 800 °С до температуры кристаллизации t₂ = 661 °С проходил на участке АВ. Этот процесс занял τ = 15 минут.
Составим пропорцию и определим массу алюминия.

\[ \begin{align}
  & \frac{\left| Q \right|}{\left| {{Q}_{1}} \right|}=\frac{\tau }{{{\tau }_{1}}},\ \frac{\left| c\cdot m\cdot ({{t}_{2}}-{{t}_{1}}) \right|}{\left| {{Q}_{1}} \right|}=\frac{\tau }{{{\tau }_{1}}},m=\frac{\left| {{Q}_{1}} \right|\cdot \tau }{{{\tau }_{1}}\cdot \left| c\cdot ({{t}_{2}}-{{t}_{1}}) \right|}\ (2). \\
 & m=\frac{1,7\cdot {{10}^{3}}\cdot 15\cdot 60}{\left| 920\cdot (661-800 \right|}=11,96. \\
\end{align}
 \]

Ответ: 12 кг. Вариант 2. Ответ: 7 кг.

[Сергей]

В 7. Вариант 1.За один цикл рабочее тело теплового двигателя отдает холодильнику количество теплоты |Q| = 90 кДж. Если термический коэффициент полезного действия теплового двигателя η = 25 %, то за один цикл рабочее тело двигателя совершает работу А, равную … кДж.
Решение. Запишем формулу для определения термического коэффициент полезного действия η теплового двигателя.

\[ \begin{align}
  & \eta =\frac{A}{{{Q}_{1}}}\ \ \ (1),\ A={{Q}_{1}}-\left| Q \right|(2),\ {{Q}_{1}}=A+\left| Q \right|,\ \eta =\frac{A}{A+\left| Q \right|}.\ \eta \cdot (A+\left| Q \right|)=A, \\
 & \eta \cdot A+\eta \cdot \left| Q \right|=A,A\cdot (1-\eta )=\eta \cdot \left| Q \right|,A=\frac{\eta \cdot \left| Q \right|}{1-\eta },A=\frac{0,25\cdot 90\cdot {{10}^{3}}}{1-0,25}=30\cdot {{10}^{3}}. \\
\end{align} \]

Ответ: 30 кДж. Вариант 2. Ответ: 3 кДж.

[Сергей]

В8. Вариант 1.Поверхность метала сначала освещают монохроматическим светом с частотой ν₁ = 6,10∙10¹⁴ Гц, а затем монохроматическим светом с частотой ν₂ = 1,22∙10¹⁵ Гц. Если модуль максимальной скорости вылетающих фотоэлектронов в первом случае в три раза меньше, чем во втором (υ₁ = υ₂/3), то длина волны λ_к электромагнитного излучения, соответствующая красной границе фотоэффекта для данного метала, равна … нм.
Решение.
Запишем формулу Эйнштейна для фотоэффекта:

\[ \begin{align}
  & h\cdot \nu =A+\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}(1),h\cdot {{\nu }_{1}}=A+\frac{m\cdot \upsilon _{1}^{2}}{2},h\cdot {{\nu }_{2}}=A+\frac{m\cdot \upsilon _{2}^{2}}{2},{{\upsilon }_{2}}=3\cdot {{\upsilon }_{1}}. \\
 & h\cdot {{\nu }_{2}}=A+\frac{m\cdot 9\cdot \upsilon _{1}^{2}}{2},\frac{m\cdot \upsilon _{1}^{2}}{2}=\frac{h\cdot {{\nu }_{2}}-A}{9},h\cdot {{\nu }_{1}}=A+\frac{h\cdot {{\nu }_{2}}-A}{9}, \\
 & 9\cdot h\cdot {{\nu }_{1}}=9\cdot A+h\cdot {{\nu }_{2}}-A,A=\frac{9\cdot h\cdot {{\nu }_{1}}-h\cdot {{\nu }_{2}}}{8},\,A=\frac{h\cdot c}{{{\lambda }_{k}}}, \\
 & \frac{h\cdot c}{{{\lambda }_{k}}}=\frac{9\cdot h\cdot {{\nu }_{1}}-h\cdot {{\nu }_{2}}}{8},{{\lambda }_{k}}=\frac{8\cdot h\cdot c}{9\cdot h\cdot {{\nu }_{1}}-h\cdot {{\nu }_{2}}},\,{{\lambda }_{k}}=\frac{8\cdot h\cdot c}{h\cdot (9\cdot {{\nu }_{1}}-{{\nu }_{2}})}, \\
 & {{\lambda }_{k}}=\frac{8\cdot c}{(9\cdot {{\nu }_{1}}-{{\nu }_{2}})}(2).{{\lambda }_{k}}=\frac{8\cdot 3\cdot {{10}^{8}}}{9\cdot 6,1\cdot {{10}^{14}}-12,2\cdot {{10}^{14}}}=0,562\cdot {{10}^{-6}}. \\
\end{align}
 \]

Где: h – постоянная Планка, h = 6,63∙10^-34 Дж∙с, m – масса электрона, m = 9,1∙10^-31 кг, с – скорость света в вакууме, с = 3∙10⁸ м/с, е – модуль заряда электрона, е = 1,6 ∙10^-19 Кл.
Ответ: 562 нм. Вариант 2. Ответ: 476 нм.

[Сергей]

В 9. Вариант 1.Три точечных заряда q₁ = 7,0 нКл, q₂ = 15 нКл и q₃ = 12 нКл находятся в вакууме и расположены вдоль одной прямой, как показаны на рисунке. Если расстояние а = 14,0 см, то потенциальная энергия W электростатического взаимодействия системы этих зарядов равна … мкДж.
Решение.
Потенциальную энергию W электростатического взаимодействия системы этих зарядов определим по формуле:

\[ \begin{align}
  & W={{W}_{12}}+{{W}_{23}}+{{W}_{13}}(1). \\
 & W=\frac{k\cdot {{q}_{1}}\cdot {{q}_{2}}}{a}+\frac{k\cdot {{q}_{1}}\cdot {{q}_{3}}}{2\cdot a}+\frac{k\cdot {{q}_{2}}\cdot {{q}_{3}}}{a}(2). \\
 & W=\frac{k}{a}\cdot ({{q}_{1}}\cdot {{q}_{2}}+\frac{{{q}_{1}}\cdot {{q}_{3}}}{2}+{{q}_{2}}\cdot {{q}_{3}}). \\
 & W=\frac{9\cdot {{10}^{9}}}{14\cdot {{10}^{-2}}}\cdot (7,0\cdot {{10}^{-9}}\cdot 15,0\cdot {{10}^{-9}}+\frac{7,0\cdot {{10}^{-9}}\cdot 12,0\cdot {{10}^{-9}}}{2}+15,0\cdot {{10}^{-9}}\cdot 12,0\cdot {{10}^{-9}})=21\cdot {{10}^{-6}}. \\
\end{align} \]

Ответ: 21 мкДж. Вариант 2. Ответ: 18 мкДж.

[Сергей]

В 10. Вариант 1.Частица массой m = 1,0 мг и зарядом q = 6,0 нКл влетела в электростатическое поле со скоростью υ₀. Ускоренная разностью потенциалов (φ₁ - φ₂) = 3,0 кВ, частица ударилась о преграду и отлетела от нее в противоположном направлении. Модуль скорости частицы сразу после удара не изменяется. Если модуль изменения импульса частицы при ударе о преграду ∆р = 2,0∙10^-5 кг∙м/с, то модуль ее начальной скорости υ₀ равен … дм/с.
Решение.
Зная изменение импульса частицы при ударе о преграду определим скорость частицы.

\[ \begin{align}
  & \Delta \vec{p}=m\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{1}}-m\cdot \vec{\upsilon }. \\
 & Oy:\,\Delta p=m\cdot {{\upsilon }_{1}}+m\cdot \upsilon ,\upsilon ={{\upsilon }_{1}},\Delta p=2\cdot m\cdot \upsilon ,\,\upsilon =\frac{\Delta p}{2\cdot m}(1). \\
\end{align}

 \]

Работа по перемещению заряда в электрическом поле определяется по формуле:

А = q∙(φ₁ - φ₂)   (2).

В результате ускорения разностью потенциалов изменяется кинетическая энергия частицы:

\[ \Delta W=\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}-\frac{m\cdot \upsilon _{0}^{2}}{2}(3). \]

Согласно закону сохранения энергии работа по перемещению заряда в электрическом поле равна изменению кинетической энергии частицы:

\[ A=\Delta W,q\cdot \left( {{\varphi }_{1}}-\text{ }{{\varphi }_{2}} \right)=\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}-\frac{m\cdot \upsilon _{0}^{2}}{2}(4).
 \]

Подставим (1) в (4) выразим начальную скорость частицы:

\[ \begin{align}
  & q\cdot \left( {{\varphi }_{1}}-\text{ }{{\varphi }_{2}} \right)=\frac{m\cdot \Delta {{p}^{2}}}{2\cdot {{(2\cdot m)}^{2}}}-\frac{m\cdot \upsilon _{0}^{2}}{2},\frac{m\cdot \upsilon _{0}^{2}}{2}=\frac{m\cdot \Delta {{p}^{2}}}{2\cdot {{(2\cdot m)}^{2}}}-q\cdot \left( {{\varphi }_{1}}-\text{ }{{\varphi }_{2}} \right), \\
 & \upsilon _{0}^{2}=\frac{2}{m}\cdot (\frac{m\cdot \Delta {{p}^{2}}}{2\cdot {{(2\cdot m)}^{2}}}-q\cdot \left( {{\varphi }_{1}}-\text{ }{{\varphi }_{2}} \right)),{{\upsilon }_{0}}=\sqrt{\frac{2}{m}\cdot (\frac{m\cdot \Delta {{p}^{2}}}{2\cdot {{(2\cdot m)}^{2}}}-q\cdot \left( {{\varphi }_{1}}-\text{ }{{\varphi }_{2}} \right))}. \\
\end{align} \]

\[ {{\upsilon }_{0}}=\sqrt{\frac{2}{{{10}^{-6}}}\cdot (\frac{{{10}^{-6}}\cdot {{(2,0\cdot {{10}^{-5}})}^{2}}}{2\cdot 4\cdot {{10}^{-12}}}-6,0\cdot {{10}^{-9}}\cdot 3\cdot {{10}^{3}})}=8. \]

Ответ: 80 дм/с. Вариант 2. Ответ: 3 кВ.

[Сергей]

В 11. Вариант 1.В идеальном LC – контуре, состоящем из катушки индуктивности и конденсатора, происходят свободные электромагнитные колебания. Зависимость силы тока I от времени t имеет вид: I = А∙sin(В∙t+D), где А = 0,200 А, В = 2,50∙10³ рад/с, D = 6,30 рад. Если емкость конденсатора С = 5,00 мкФ, то энергия W, запасенная в колебательном контуре, равна … мкДж.
Решение.

I = А∙sin(В∙t+D).

I = 0,2∙sin(2,5∙10³ ∙t+6,3)   (1).

Из формулы зависимости силы тока  от времени определим циклическую частоту.
ω = 2,5∙10³ рад/с.
Зная циклическую частоту колебаний определим индуктивность контура:

\[ \omega =\frac{1}{\sqrt{L\cdot C}}\,(2),L\cdot C=\frac{1}{\omega },L=\frac{1}{C\cdot {{\omega }^{2}}}(3).\,L=\frac{1}{5\cdot {{10}^{-6}}\cdot {{(2,5\cdot {{10}^{3}})}^{2}}}=0,032.
 \]

Энергия W, запасенная в колебательном контуре определяется по формуле:

\[ W=\frac{L\cdot I_{m}^{2}}{2},W=\frac{I_{m}^{2}}{2\cdot C\cdot {{\omega }^{2}}}(4).{{I}_{m}}=0,2A,W=\frac{{{0,2}^{2}}}{2\cdot 5\cdot {{10}^{-6}}\cdot {{(2,5\cdot {{10}^{3}})}^{2}}}=640\cdot {{10}^{-6}}. \]

Ответ: 640 мкДж. Вариант 2. Ответ: 2 мГн.