Напряженность в центе правильного треугольника

[Alecs]

Задача 9.51 Черноуциан Физика задачи с ответами и решениями. Ответ 21.
В двух вершинах правильного треугольника со стороной 30 см находятся разноименные заряды одинаковой величины 25 пКл, а в третьей вершине - заряд 55 пКл. Найдите напряженность поля в центре треугольника.
Оплачу решение с рисунком.

[Сергей]

Решение. Покажем рисунок.
Если поле создано положительным зарядом то напряженность в точке направлена от заряда. Если поле создано отрицательным зарядом то напряженность в точке направлена к заряду. 
Центр правильного равностороннего треугольника находится на пересечении биссектрис и высот. Углы равностороннего треугольника равны 60°.
Определим расстояние от каждого заряда до центра треугольника.
Рассмотрим треугольник АВО, треугольник прямоугольный, угол А = 90°, угол В = 30°.

\[ {{r}_{1}}={{r}_{2}}={{r}_{3}}=r,\frac{OA}{OB}=\cos \frac{\pi }{6},r=OB=\frac{OA}{\cos \frac{\pi }{6}},r=\frac{0,15\cdot 2}{\sqrt{3}}=\frac{0,3}{\sqrt{3}}(1). \]

Определим числовые значения напряженности Е₁, Е₂ и Е₃ в центре треугольника.

\[ \begin{align}
  & {{E}_{1}}={{E}_{2}}=\frac{k\cdot \left| {{q}_{1}} \right|}{{{r}^{2}}}(2),{{E}_{1}}={{E}_{2}}=\frac{9\cdot {{10}^{9}}\cdot 25\cdot {{10}^{-12}}}{{{(\frac{0,3}{\sqrt{3}})}^{2}}}=\frac{9\cdot {{10}^{9}}\cdot 25\cdot {{10}^{-12}}\cdot 3}{0,3\cdot 0,3}=7,5. \\
 & {{E}_{3}}=\frac{k\cdot \left| {{q}_{3}} \right|}{{{r}^{2}}}(3),{{E}_{3}}=\frac{9\cdot {{10}^{9}}\cdot 55\cdot {{10}^{-12}}}{{{(\frac{0,3}{\sqrt{3}})}^{2}}}=\frac{9\cdot {{10}^{9}}\cdot 55\cdot {{10}^{-12}}\cdot 3}{0,3\cdot 0,3}=16,5. \\
\end{align} \]

Результирующая напряженность равна векторной суме напряженностей создаваемой каждым зарядом в центре равностороннего треугольника.

\[ \vec{E}={{\vec{E}}_{1}}+{{\vec{E}}_{2}}+{{\vec{E}}_{3}}(4). \]

Определим модуль напряженности суммы векторов Е₁ и Е₂. Рассмотрим треугольник ВОС, угол СОВ = 60°.
Для определения модуля напряженности суммы векторов Е₁ и Е₂ используем теорему косинусов.

\[ \begin{align}
  & E_{12}^{2}=E_{1}^{2}+E_{2}^{2}+2\cdot {{E}_{1}}\cdot {{E}_{2}}\cdot \cos \frac{\pi }{3},E_{12}^{2}=2\cdot E_{1}^{2}+2\cdot E_{1}^{2}\cdot \frac{1}{2}, \\
 & E_{12}^{2}=3\cdot E_{1}^{2},{{E}_{12}}=\sqrt{3}\cdot {{E}_{1}}(5).{{E}_{12}}=\sqrt{3}\cdot 7,5=12,975. \\
\end{align} \]

Вектора Е₁ и Е₂ по модулю равны, результирующий вектор Е₁₂ делит угол ВОС пополам, половина угла ВОС равна 30°. Угол ВОА равен 60°, угол между вектором Е₃ и Е₁₂ равен 90°.
Модуль суммы векторов Е₃ и Е₁₂ определим по теореме Пифагора.

\[ E=\sqrt{E_{12}^{2}+E_{3}^{2}}(6).E=\sqrt{{{12,975}^{2}}+{{16,5}^{2}}}=20,99. \]

Ответ: 21 В/м.