Через неподвижный блок в виде однородного сплошного цилиндра массой

[Антон Огурцевич]

5. Через неподвижный блок в виде однородного сплошного цилиндра массой m = 0,2 кг перекинута невесомая нить, к концам которой прикреплены тела массами m₁ = 0,35 кг и m₂ = 0,55 кг. Пренебрегая трением в оси блока, определите: 1) ускорение грузов; 2) отношение Т₂/Т₁ сил натяжения нити. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Определим ускорение с которым движутся грузы. Покажем силы, которые действуют на грузы:

\[ \begin{align}
  & {{m}_{1}}\cdot \vec{a}={{{\vec{T}}}_{1}}+{{m}_{1}}\cdot \vec{g}\ \ \ (1) \\
 & {{m}_{2}}\cdot \vec{a}={{{\vec{T}}}_{2}}+{{m}_{2}}\cdot \vec{g} \\
\end{align} \]

Найдем их проекции на ось Оу:

\[ \begin{align}
  & -{{m}_{1}}\cdot a=-{{T}_{1}}+{{m}_{1}}\cdot g\ \ \ (2), \\
 & {{m}_{2}}\cdot a=-{{T}_{2}}+{{m}_{2}}\cdot g\ \ \ (3). \\
\end{align} \]

Разность сил натяжения (Т₁ – Т₂) создает вращательный момент, при отсутствии трения получим уравнение:

\[ {{M}_{B}}=({{T}_{1}}-{{T}_{2}})\cdot R,\ {{M}_{B}}=J\cdot \varepsilon ,\ J\cdot \varepsilon =({{T}_{1}}-{{T}_{2}})\cdot R\ \ \ (4).
 \]

J – момент инерции диска, ε – угловое ускорение, m – масса диска.

\[ J=\frac{m\cdot {{R}^{2}}}{2}\ \ \ (5),\ \varepsilon =\frac{a}{R}\ \ \ (6). \]

Подставим (5) и (6) в (4):

\[ m\cdot a=2\cdot ({{T}_{1}}-{{T}_{2}})\ \ (7).
 \]

Решим систему уравнений (2) (3) (7).
Из (2) выразим Т₁, из (3) выразим Т₂, подставим Т₁ и Т₂ в (7) выразим ускорение:

\[ \begin{align}
  & {{T}_{1}}={{m}_{1}}\cdot a+{{m}_{1}}\cdot g,{{T}_{2}}={{m}_{2}}\cdot g-{{m}_{2}}\cdot a, \\
 & m\cdot a=2\cdot {{m}_{1}}\cdot a+2\cdot {{m}_{1}}\cdot g-2\cdot {{m}_{2}}\cdot g+2\cdot {{m}_{2}}\cdot a, \\
 & m\cdot a-2\cdot {{m}_{1}}\cdot a-2\cdot {{m}_{2}}\cdot a=2\cdot {{m}_{1}}\cdot g-2\cdot {{m}_{2}}\cdot g, \\
 & a=\frac{2\cdot {{m}_{1}}\cdot g-2\cdot {{m}_{2}}\cdot g}{m-2\cdot {{m}_{1}}-2\cdot {{m}_{2}}}(8). \\
 & a=\frac{2\cdot 0,35\cdot 10-2\cdot 0,55\cdot 10}{0,2-2\cdot 0,35-2\cdot 0,55}=2,5. \\
\end{align} \]

\[ \begin{align}
  & \frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}=\frac{{{m}_{2}}\cdot g-{{m}_{2}}\cdot a}{{{m}_{1}}\cdot a+{{m}_{1}}\cdot g}.\frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}=\frac{0,55\cdot 10-0,55\cdot 2,5}{0,35\cdot 10-0,35\cdot 2,5}=1,57. \\
 &  \\
\end{align}
 \]

Ответ: а = 2,5 м/с², Т₂/Т₁ = 1,57.