Решение. Покажем рисунок. Запишем закон сохранения энергии.
\[ \begin{align}
& \frac{m\cdot \upsilon _{0}^{2}}{2}=\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}+m\cdot g\cdot {{h}_{\max }},\upsilon _{0}^{2}={{\upsilon }^{2}}+2\cdot g\cdot {{h}_{\max }}, \\
& {{\upsilon }^{2}}=\upsilon _{0}^{2}-2\cdot g\cdot {{h}_{\max }},\upsilon =\sqrt{\upsilon _{0}^{2}-2\cdot g\cdot {{h}_{\max }}}(1). \\
\end{align} \]
Определим максимальную высоту подъёма. Движение тела брошенного под углом к горизонту описывается формулами:
\[ \begin{align}
& x={{\upsilon }_{0x}}\cdot t,{{\upsilon }_{0x}}={{\upsilon }_{0}}\cdot \cos \alpha ,x={{\upsilon }_{0}}\cdot \cos \alpha \cdot t(2), \\
& y={{\upsilon }_{0y}}\cdot t-\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2},{{\upsilon }_{0y}}={{\upsilon }_{0}}\cdot sin\alpha ,y={{\upsilon }_{0}}\cdot sin\alpha \cdot t-\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2}(3). \\
\end{align} \]
В конце полета скорость равна нулю, определим время полета:
\[ \begin{align}
& 0={{\upsilon }_{0}}\cdot sin\alpha \cdot t-\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2},\frac{g\cdot t}{2}={{\upsilon }_{0}}\cdot sin\alpha ,t=0, \\
& t=\frac{2\cdot {{\upsilon }_{0}}\cdot sin\alpha }{g}(4). \\
\end{align} \]
Время движения до наивысшего пункта траектории в два раза меньше времени всего полета, определим максимальную высоту полета:
\[ \begin{align}
& {{t}_{{}^{1}/{}_{2}}}=\frac{{{\upsilon }_{0}}\cdot sin\alpha }{g}(4).{{h}_{\max }}={{\upsilon }_{0y}}\cdot {{t}_{{}^{1}/{}_{2}}}-\frac{g\cdot t_{{}^{1}/{}_{2}}^{2}}{2}, \\
& {{\upsilon }_{0}}\cdot sin\alpha \cdot \frac{{{\upsilon }_{0}}\cdot sin\alpha }{g}-\frac{g}{2}\cdot {{(\frac{{{\upsilon }_{0}}\cdot sin\alpha }{g})}^{2}}, \\
& {{h}_{\max }}=\frac{\upsilon _{0}^{2}\cdot si{{n}^{2}}\alpha }{2\cdot g}(6). \\
\end{align}
\]
(6) подставим в (1) определим скорость υ тела в высшей точке его траектории.
\[ \begin{align}
& \upsilon =\sqrt{\upsilon _{0}^{2}-2\cdot g\cdot \frac{\upsilon _{0}^{2}\cdot si{{n}^{2}}\alpha }{2\cdot g}}=\sqrt{\upsilon _{0}^{2}-\upsilon _{0}^{2}\cdot si{{n}^{2}}\alpha }={{\upsilon }_{0}}\cdot \cos \alpha (7). \\
& \upsilon =15\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=10,64. \\
& \\
\end{align} \]
Ответ: 10,64 м/с.
