Репетиционное тестирование 2 этап 2016/2017

[Сергей]

В 1. Вариант 1.Тело брошено горизонтально с высоты h = 1,8 м. Если модуль начальной скорости тела υ₀ = 8,0 м/с то модуль его скорости υ в момент падения на поверхность Земли равен … м/с.
Решение.
Данное движение результат двух независимых движений.
Равномерного движения относительно оси Ох и свободного падения относительно оси Оу.
Зная высоту падения определим время достижения телом поверхности Земли.

\[ h=\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2},t=\sqrt{\frac{2\cdot h}{g}}(1). \]

Скорость тела в момент достижения им поверхности Земли определим по формуле:

\[ \begin{align}
  & \upsilon =\sqrt{\upsilon _{x}^{2}+\upsilon _{y}^{2}}(2),{{\upsilon }_{x}}={{\upsilon }_{0}},{{\upsilon }_{y}}=g\cdot t,{{\upsilon }_{y}}=g\cdot \sqrt{\frac{2\cdot h}{g}}, \\
 & \upsilon =\sqrt{\upsilon _{0}^{2}+{{(g\cdot \sqrt{\frac{2\cdot h}{g}})}^{2}}},\upsilon =\sqrt{\upsilon _{0}^{2}+2\cdot g\cdot h}\,(3). \\
 & \upsilon =\sqrt{{{8,0}^{2}}+2\cdot 10\cdot 1,8}=10. \\
\end{align} \]

Ответ: 10 м/с. Вариант 2. Ответ: 20 м.

[Сергей]

В 2. Вариант 1. Груз массой m = 100 кг поднимают вертикально вверх с помощью троса жёсткостью k = 1,0∙10⁵ Н/м, массой которого можно пренебречь. За первые ∆t = 3,0 с от начала равноускоренного движения груз поднимается на высоту h = 9,0 м. Удлинение ∆l троса при таком подъёме равно … мм.
Решение.
Покажем на рисунке силы которые действуют на груз который находится в лифте и ускорение. Для решения задачи используем второй закон Ньютона:

\[ \vec{F}=m\cdot \vec{a}.\ {{\vec{F}}_{n}}+m\cdot \vec{g}=m\cdot \vec{a}.
 \]

Найдем проекции на ось Оу и определим силу натяжение троса:

\[ \begin{align}
  & Oy:{{F}_{n}}-m\cdot g=m\cdot a,\ {{F}_{n}}=\ m\cdot (g+a)\ \ \ (1).h={{\upsilon }_{0}}\cdot t+\frac{a\cdot {{t}^{2}}}{2},\,{{\upsilon }_{0}}=0, \\
 & h=\frac{a\cdot {{t}^{2}}}{2},a=\frac{2\cdot h}{{{t}^{2}}}(2),{{F}_{n}}=\ m\cdot (g+\frac{2\cdot h}{{{t}^{2}}})(3),\,{{F}_{n}}=k\cdot \Delta l(4). \\
 & k\cdot \Delta l=m\cdot (g+\frac{2\cdot h}{{{t}^{2}}}),\,\Delta l=\frac{m}{k}\cdot (g+\frac{2\cdot h}{{{t}^{2}}})(5). \\
 & \Delta l=\frac{100}{1,0\cdot {{10}^{5}}}\cdot (10+\frac{2\cdot 9,0}{{{3,0}^{2}}})=0,012. \\
\end{align}
 \]

∆l = 0,012 м = 12 мм.
Ответ: 12 мм. Вариант 2. Ответ: 11 мм.

[Сергей]

В 3. Вариант 1. Шарик (ρ₁ = 0,8∙10³ кг/м³) объёмом V = 0,7 см³ равномерно всплывает в воде (ρ₂ = 1,0∙10³ кг/м³). При перемещении шарика по вертикали из глубины на расстояние ∆h = 5,0 м выделяется количество теплоты Q, равное … мДж.
Решение.
Количество теплоты которое выделяется при равномерном перемещении шарика по вертикали из глубины будет равно работе силы сопротивления.

Q = А, А = F_Т∙h,Q =  F_Т∙h    (1).

Покажем силы которые действуют на шарик. На шарик действует сила тяжести, Архимедова сила и сила сопротивления. Шарик движется равномерно, равнодействующая всех сил которые действуют на шарик равна нулю.

\[ m\cdot \vec{g}+{{\vec{F}}_{A}}+{{\vec{F}}_{T}}=0. \]

Найдем проекции на ось Оу, определим силу сопротивления.

\[  \begin{align}
  & Oy:-m\cdot g-{{F}_{T}}+{{F}_{A}}=0,{{F}_{T}}={{F}_{A}}-m\cdot g(2),{{F}_{A}}={{\rho }_{2}}\cdot g\cdot V(3), \\
 & m={{\rho }_{1}}\cdot V\,(4),Q=({{F}_{A}}-m\cdot g)\cdot h,\,Q=({{\rho }_{2}}\cdot g\cdot V-{{\rho }_{1}}\cdot V\cdot g)\cdot h, \\
 & Q=g\cdot V\cdot ({{\rho }_{2}}-{{\rho }_{1}})\cdot h(5).\, \\
 & Q=10\cdot 0,7\cdot {{10}^{-6}}\cdot (1,0\cdot {{10}^{3}}-0,8\cdot {{10}^{3}})\cdot 5,0=7,0\cdot {{10}^{-3}}. \\
\end{align} \]

Ответ: 7 мДж. Вариант 2. Ответ: 6 мДж.

[Сергей]

В 4. Вариант 1. Два соприкасающихся шарика, массы которых m = 0,10 кг и М = 0,20 кг, подвешены на вертикальных легких нерастяжимых нитях так, что центры находятся на одной горизонтали (см. рис.). Расстояние от точки подвеса шарика массой m до его центра l = 1,35 м. Нить с шариком массой m отклоняют на угол α = 90° и отпускают без начальной скорости. Если удар шариков будет абсолютно неупругим, то сразу после удара кинетическая энергия Е_k шарика массой М равна … мДж.
Решение.
Нить с шариком массой m отклоняют на угол α = 90° и отпускают без начальной скорости, используя закон сохранения энергии определим скорость шарика в момент взаимодействия с другим шариком.
Запишем закон сохранения энергии:

\[ m\cdot g\cdot h=\ \frac{m\cdot \upsilon _{1}^{2}}{2},\ h=l,\ m\cdot g\cdot l=\ \frac{m\cdot \upsilon _{1}^{2}}{2},g\cdot l=\ \frac{\upsilon _{1}^{2}}{2},{{\upsilon }_{1}}=\sqrt{2\cdot g\cdot l}(1).
 \]

Рассмотрим процесс столкновения шариков (неупругое взаимодействие). Запишем закон сохранения импульса (рис.) и определим скорость их совместного движения:

\[ m\cdot {{\vec{\upsilon }}_{1}}=(M+m)\cdot \vec{\upsilon }\ \ \ (2). \]

Найдем проекции на ось Ох:

\[ m\cdot {{\upsilon }_{1}}=(M+m)\cdot \upsilon ,\upsilon =\frac{m\cdot {{\upsilon }_{1}}}{(M+m)},\ \upsilon =\frac{m\cdot \sqrt{2\cdot g\cdot l}}{(M+m)}\ \ (3). \]

Определим кинетическую энергию Е_k шарика массой М:

\[ \begin{align}
  & {{E}_{k}}=\frac{M\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2},{{E}_{k}}=\frac{M}{2}\cdot {{(\frac{m\cdot \sqrt{2\cdot g\cdot l}}{(M+m)})}^{2}},{{E}_{k}}=\frac{M}{2}\cdot \frac{{{m}^{2}}\cdot 2\cdot g\cdot l}{{{(M+m)}^{2}}}(4). \\
 & {{E}_{k}}=\frac{0,2}{2}\cdot \frac{{{0,1}^{2}}\cdot 2\cdot 10\cdot 1,35}{{{(0,2+0,1)}^{2}}}=0,3. \\
\end{align} \]

Ответ: 300 мДж. Вариант 2. Ответ: 200 мДж.

[Сергей]

В 5. Вариант 1. Давление и температура воздуха внутри резинового шарика совпадают с температурой и давлением окружающего воздуха (t₁ = 27 °С, р₀ = 1,0∙10⁵ Па). Если шарик медленно погрузить в глубокий водоём (плотность воды ρ = 1,0∙10³ кг/м³ её температура t₂ = 7,0 °С), то объём воздуха в шарике уменьшится в k = 3,0 раза на глубине h, равной ... м.
 Решение.
Т₁ = (273 + 27) К = 300 К, Т₂ = (273 + 7) К = 280 К.
Давление внутри резинового шарика на глубине h будет равно атмосферному давлению в сумме с гидростатическим давлением на этой глубине. Запишем формулу для определения давления внутри резинового шарика на глубине h.

р₂ = р₀ + ρ∙g∙h    (1).

Масса воздуха внутри резинового шарика не изменяется. Запишем формулу Клапейрона и определим глубину погружения шарика.

\[ \begin{align}
  & \frac{{{p}_{1}}\cdot {{V}_{1}}}{{{T}_{1}}}=\frac{{{p}_{2}}\cdot {{V}_{2}}}{{{T}_{2}}},{{V}_{1}}=k\cdot {{V}_{2}},\frac{{{p}_{0}}\cdot k\cdot {{V}_{2}}}{{{T}_{1}}}=\frac{({{p}_{0}}+\rho \cdot g\cdot h)\cdot {{V}_{2}}}{{{T}_{2}}}, \\
 & \frac{{{p}_{0}}\cdot k}{{{T}_{1}}}=\frac{({{p}_{0}}+\rho \cdot g\cdot h)}{{{T}_{2}}},{{p}_{0}}+\rho \cdot g\cdot h=\frac{{{p}_{0}}\cdot k\cdot {{T}_{2}}}{{{T}_{1}}},\rho \cdot g\cdot h=\frac{{{p}_{0}}\cdot k\cdot {{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}-{{p}_{0}}, \\
 & h=\frac{{{p}_{0}}\cdot (\frac{k\cdot {{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}-1)}{\rho \cdot g}.h=\frac{1,0\cdot {{10}^{5}}\cdot (\frac{3,0\cdot 280}{300}-1)}{1,0\cdot {{10}^{3}}\cdot 10}=18. \\
 &  \\
\end{align} \]

Ответ: 18 м. Вариант 2. Ответ: 90 дм.

[Сергей]

В 6. Вариант 1. В теплоизолированный сосуд пренебрежимо малой теплоёмкости содержащий воду массой m₁ = 6 кг при температуре t₁ = 40 °С, сначала влили воду массой m₂ = 4 кг при температуре t₂ = 70 °С, а затем ещё добавили воду массой m₃ = 10 кг при температуре t₃. Если в результате теплообмена в сосуде установилась температура воды t = 30 °С, то температура t₃ равна ... °С.
Решение.
Рассмотрим первый случай. Запишем уравнение теплового баланса и определим температуру смеси после добавления воды массой m₂ = 4 кг.

\[ \begin{align}
  & {{Q}_{1}}+{{Q}_{2}}=0,c\cdot {{m}_{1}}\cdot ({{t}_{c}}-{{t}_{1}})+c\cdot {{m}_{2}}\cdot ({{t}_{c}}-{{t}_{2}})=0,{{m}_{1}}\cdot ({{t}_{c}}-{{t}_{1}})+{{m}_{2}}\cdot ({{t}_{c}}-{{t}_{2}})=0, \\
 & {{t}_{c}}\cdot ({{m}_{1}}+{{m}_{2}})={{m}_{1}}\cdot {{t}_{1}}+{{m}_{2}}\cdot {{t}_{2}},{{t}_{c}}=\frac{{{m}_{1}}\cdot {{t}_{1}}+{{m}_{2}}\cdot {{t}_{2}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}(1). \\
 & {{t}_{c}}=\frac{6\cdot 40+4\cdot 70}{6+4}=52. \\
\end{align} \]

Рассмотрим второй случай. Запишем уравнение теплового баланса и определим температуру смеси после добавления ещё воды массой m₃ = 10 кг и определим начальную температуру добавленной воды.

\[ \begin{align}
  & {{Q}_{3}}+{{Q}_{4}}=0,c\cdot ({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot (t-{{t}_{c}})+c\cdot {{m}_{3}}\cdot (t-{{t}_{3}})=0,({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot (t-{{t}_{c}})+{{m}_{3}}\cdot (t-{{t}_{3}})=0, \\
 & t-{{t}_{3}}=-\frac{({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot (t-{{t}_{c}})}{{{m}_{3}}},{{t}_{3}}=t+\frac{({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot (t-{{t}_{c}})}{{{m}_{3}}}(2). \\
 & {{t}_{3}}=30+\frac{(6+4)\cdot (30-52)}{10}=8. \\
\end{align} \]

Ответ: 8 °С. Вариант 2. Ответ: 19 °С.

См. способ решения anata.

[Сергей]

В 7. Вариант 1. Идеальный одноатомный газ количество вещества которого ν = 1,0 моль первоначально имеющий температуру t₁ = 28 °С, сначала расширили изобарно, а затем он изохорно перешёл в состояние с температурой, равной первоначальной. Если при этом объём газа увеличился k = 5,0 раза, то модуль количества теплоты Q отданной газом при изохорном процессе, равен ... кДж.
Решение.
Т₁ = (273 + 28) К = 301 К.
Покажем процесс в координатах рV.
Определим температуру Т₂ в конце изобарного процесса.

\[ \frac{{{V}_{1}}}{{{T}_{1}}}=\frac{{{V}_{2}}}{{{T}_{2}}},{{V}_{2}}=k\cdot {{V}_{1}},\frac{{{V}_{1}}}{{{T}_{1}}}=\frac{k\cdot {{V}_{1}}}{{{T}_{2}}},{{T}_{2}}=\frac{k\cdot {{V}_{1}}\cdot {{T}_{1}}}{{{V}_{1}}},{{T}_{2}}=k\cdot {{T}_{1}}\,(1). \]

Количество теплоты Q отданной газом при изохорном процессе определим по формуле:

\[ \begin{align}
  & Q=\frac{3}{2}\cdot \nu \cdot R\cdot ({{T}_{1}}-{{T}_{2}})(2),Q=\frac{3}{2}\cdot \nu \cdot R\cdot ({{T}_{1}}-k\cdot {{T}_{1}}), \\
 & Q=\frac{3}{2}\cdot \nu \cdot R\cdot {{T}_{1}}\cdot (1-k).\,Q=\frac{3}{2}\cdot 1,0\cdot 8,31\cdot 301\cdot (1-5,0)=15\cdot {{10}^{3}}. \\
\end{align}

 \]

Ответ: 15 кДж. Вариант 2. Ответ: 21 кДж.

[Сергей]

В 8. Вариант 1. Радиоактивный йод 131₅₃I имеет период полураспада Т = 8,0 сут. Количество радиоактивных ядер йода уменьшится в 64 раза по сравнению с первоначальным числом через промежуток времени равный ... сут.
Решение.
Запишем закон радиоактивного распада и определим промежуток времени через который количество радиоактивных ядер йода уменьшится в 64 раза по сравнению с первоначальным числом.

\[ \begin{align}
  & N={{N}_{0}}\cdot {{2}^{-\frac{t}{{{T}_{^{1}{{/}_{2}}}}}}}\ \ \ (1),\frac{N}{{{N}_{0}}}={{2}^{-\frac{t}{{{T}_{^{1}{{/}_{2}}}}}}},\frac{1}{64}=\frac{1}{{{2}^{\frac{t}{{{T}_{^{1}{{/}_{2}}}}}}}},{{2}^{\frac{t}{{{T}_{^{1}{{/}_{2}}}}}}}={{2}^{6}},\frac{t}{{{T}_{^{1}{{/}_{2}}}}}=6, \\
 & t=6\cdot {{T}_{^{1}{{/}_{2}}}}.t=6\cdot 8,0=48. \\
\end{align} \]

Ответ: 48 сут. Вариант 2. Ответ: 40 сут.

[anat]

В 6. Вариант 1. В теплоизолированный сосуд пренебрежимо малой теплоёмкости содержащий воду массой m₁ = 6 кг при температуре t₁ = 40 °С, сначала влили воду массой m₂ = 4 кг при температуре t₂ = 70 °С, а затем ещё добавили воду массой m₃ = 10 кг при температуре t₃. Если в результате теплообмена в сосуде установилась температура воды t = 30 °С, то температура t₃ равна ... °С.
Решение.
Рассмотрим первый случай. Запишем уравнение теплового баланса и определим температуру смеси после добавления воды массой m₂ = 4 кг.

\[ \begin{align}
  & {{Q}_{1}}+{{Q}_{2}}=0,c\cdot {{m}_{1}}\cdot ({{t}_{c}}-{{t}_{1}})+c\cdot {{m}_{2}}\cdot ({{t}_{c}}-{{t}_{2}})=0,{{m}_{1}}\cdot ({{t}_{c}}-{{t}_{1}})+{{m}_{2}}\cdot ({{t}_{c}}-{{t}_{2}})=0, \\
 & {{t}_{c}}\cdot ({{m}_{1}}+{{m}_{2}})={{m}_{1}}\cdot {{t}_{1}}+{{m}_{2}}\cdot {{t}_{2}},{{t}_{c}}=\frac{{{m}_{1}}\cdot {{t}_{1}}+{{m}_{2}}\cdot {{t}_{2}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}(1). \\
 & {{t}_{c}}=\frac{6\cdot 40+4\cdot 70}{6+4}=52. \\
\end{align} \]

Рассмотрим второй случай. Запишем уравнение теплового баланса и определим температуру смеси после добавления ещё воды массой m₃ = 10 кг и определим начальную температуру добавленной воды.

\[ \begin{align}
  & {{Q}_{3}}+{{Q}_{4}}=0,c\cdot ({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot (t-{{t}_{c}})+c\cdot {{m}_{3}}\cdot (t-{{t}_{3}})=0,({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot (t-{{t}_{c}})+{{m}_{3}}\cdot (t-{{t}_{3}})=0, \\
 & t-{{t}_{3}}=-\frac{({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot (t-{{t}_{c}})}{{{m}_{3}}},{{t}_{3}}=t+\frac{({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot (t-{{t}_{c}})}{{{m}_{3}}}(2). \\
 & {{t}_{3}}=30+\frac{(6+4)\cdot (30-52)}{10}=8. \\
\end{align} \]

Ответ: 8 °С. Вариант 2. Ответ: 19 °С.

А может сразу:

[Сергей]

В 9. Вариант 1. Два маленьких одинаковых шарика (ρ₁ = 1,54∙10³ кг/м³) подвесили в воздухе на непроводящих лёгких нерастяжимых нитях равной длины, закреплённых в одной общей точке. После того как шарикам сообщили одинаковые одноимённые заряды, нити разошлись на некоторый угол. Если при полном погружении шариков в масло диэлектрическая проницаемость которого ε = 2,2, угол расхождения нитей не изменился, то плотность ρ масла равна … кг/м³.
Решение.
1). Рассмотрим случай когда шарики находятся в воздухе (рис 1).
Покажем силы, которые действуют на один из шариков. Шарик находится в покое, значит, равнодействующая всех сил равна нулю.

\[ {{\vec{F}}_{n}}+{{\vec{F}}_{K}}+m\cdot \vec{g}=0. \]

Найдем проекции на оси Ох и Оу:

\[ Ox:{{F}_{n}}\cdot \sin \alpha -{{F}_{K}}=0\ \ \ (1),Oy:{{F}_{n}}\cdot \cos \alpha -m\cdot g=0\ \ \ (2),{{F}_{K}}=\frac{k\cdot {{q}^{2}}}{{{r}^{2}}}\ \ \ (3).
 \]

(3) подставим в (1) из (1) выразим F_n, подставим в (2) и выразим тангенс угла отклонения нити в воздухе:

\[ \begin{align}
  & {{F}_{n}}=\frac{k\cdot {{q}^{2}}}{{{r}^{2}}\cdot \sin \alpha }\ \ (4),\frac{k\cdot {{q}^{2}}\cdot \cos \alpha }{{{r}^{2}}\cdot \sin \alpha }=m\cdot g,tg\alpha =\frac{k\cdot {{q}^{2}}}{{{r}^{2}}\cdot m\cdot g}(5). \\
 & m={{\rho }_{1}}\cdot V,tg\alpha =\frac{k\cdot {{q}^{2}}}{{{r}^{2}}\cdot {{\rho }_{1}}\cdot V\cdot g}(6). \\
\end{align} \]

2). Рассмотрим случай когда шарики находятся в масле (рис 2).
Покажем силы, которые действуют на один из шариков. Шарик находится в покое, значит, равнодействующая всех сил равна нулю.

\[ {{\vec{F}}_{n}}+{{\vec{F}}_{K}}+m\cdot \vec{g}+{{\vec{F}}_{A}}=0. \]

Найдем проекции на оси Ох и Оу:

\[ \begin{align}
  & Ox:{{F}_{n}}\cdot \sin \alpha -{{F}_{K}}=0\ \ \ (7),Oy:{{F}_{A}}+{{F}_{n}}\cdot \cos \alpha -m\cdot g=0\ \ \ (8),{{F}_{K}}=\frac{k\cdot {{q}^{2}}}{\varepsilon \cdot {{r}^{2}}}\ \ \ (9). \\
 & {{F}_{A}}={{\rho }_{M}}\cdot g\cdot V(10). \\
\end{align} \]

(9) подставим в (7) из (7) выразим F_n, подставим в (2) и выразим тангенс угла отклонения нити в масле:

\[ \begin{align}
  & {{F}_{n}}=\frac{k\cdot {{q}^{2}}}{\varepsilon \cdot {{r}^{2}}\cdot \sin \alpha }\ \ (11),{{\rho }_{M}}\cdot g\cdot V+\frac{k\cdot {{q}^{2}}\cdot \cos \alpha }{\varepsilon \cdot {{r}^{2}}\cdot \sin \alpha }=m\cdot g,m={{\rho }_{1}}\cdot V, \\
 & \frac{k\cdot {{q}^{2}}\cdot \cos \alpha }{\varepsilon \cdot {{r}^{2}}\cdot \sin \alpha }={{\rho }_{1}}\cdot V\cdot g-{{\rho }_{M}}\cdot g\cdot V,tg\alpha =\frac{k\cdot {{q}^{2}}}{\varepsilon \cdot {{r}^{2}}\cdot ({{\rho }_{1}}\cdot V\cdot g-{{\rho }_{M}}\cdot g\cdot V)}(12). \\
\end{align} \]

Приравняем (6) и (12) выразим плотность масла.

\[ \begin{align}
  & \frac{k\cdot {{q}^{2}}}{{{r}^{2}}\cdot {{\rho }_{1}}\cdot V\cdot g}=\frac{k\cdot {{q}^{2}}}{\varepsilon \cdot {{r}^{2}}\cdot ({{\rho }_{1}}\cdot V\cdot g-{{\rho }_{M}}\cdot g\cdot V)},\frac{1}{{{\rho }_{1}}}=\frac{1}{\varepsilon \cdot ({{\rho }_{1}}-{{\rho }_{M}})},\varepsilon \cdot {{\rho }_{1}}-\varepsilon \cdot {{\rho }_{M}}={{\rho }_{1}}, \\
 & \varepsilon \cdot {{\rho }_{M}}=\varepsilon \cdot {{\rho }_{1}}-{{\rho }_{1}},{{\rho }_{M}}=\frac{{{\rho }_{1}}\cdot (\varepsilon -1)}{\varepsilon }(14).{{\rho }_{M}}=\frac{1540\cdot (2,2-1)}{2,2}=840. \\
\end{align} \]

Ответ: 840 кг/м³. Вариант 2. Ответ: 800 кг/м³.