Зависимость пройдённого телом пути по окружности радиусом

[Антон Огурцевич]

Зависимость пройдённого телом пути по окружности радиусом r = 3 м задаётся уравнением s = At² + Bt (A = 0,4 м/с², В = 0,1 м/с). Определить для момента времени t = 1 с после начала движения ускорения: 1) нормальное; 2) тангенциальное; 3) полное. Ответ: 1) 0,27 м/с²;  2) 0,8 м/с²; 3) 0,84 м/с². Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Первая производная от перемещения есть скорость:

\[ \begin{align}
  & s\text{ }=\text{ }0,4\cdot {{t}^{2}}+\text{ }0,1\cdot t(1). \\
 & \upsilon (t)=s{{(t)}^{\prime }}={{(0,4\cdot {{t}^{2}}+0,1\cdot t)}^{\prime }}=0,8\cdot t+0,1,\ \upsilon (t)=\ 0,8\cdot t+0,1\ \ (2). \\
 & \upsilon (1)=\ 0,8\cdot 1+0,1=0,9. \\
\end{align}
 \]

υ(1) = 0,9 м/с. 
Тангенциальное ускорение найдем как вторую производную от s по t:

\[ {{a}_{\tau }}=s{{(t)}^{\prime \prime }}={{(0,4\cdot {{t}^{2}}+0,1\cdot t)}^{\prime \prime }}=0,8\ \ \ (3). \]

а_τ = 0,8 м/с². 
Нормальное ускорение определим по формуле:

\[ {{a}_{n}}=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{R}\ \ \ (4)\ .{{a}_{n}}=\frac{{{0,9}^{2}}}{3}=0,27. \]

а_n = 0,27 м/с².
Полное ускорение определим по формуле:

\[ a=\sqrt{a_{n}^{2}+a_{\tau }^{2}}\ \ \ (5).\,a=\sqrt{{{0,8}^{2}}+{{0,27}^{2}}}=0,84. \]

а = 0,84 м/с².