Плоский конденсатор с площадью пластин

[Антон Огурцевич]

Плоский конденсатор с площадью пластин 100 см² подключён к источнику тока и заряжен до разности потенциалов 200 В. Вычислить работу, которую нужно совершить при раздвижении пластин от 2 мм до 1 см, не отключая конденсатор от источника. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
  Найдем энергию W₁ и W₂ конденсаторов до и после раздвижения пластин.
Учитываем, что конденсатор подключён к источнику тока и заряжен до разности потенциалов 200 В.
Определим изменение энергии конденсатора.

\[ \begin{align}
  & {{W}_{1}}=\frac{{{C}_{1}}\cdot {{U}^{2}}}{2}(1),{{W}_{2}}=\frac{{{C}_{2}}\cdot {{U}^{2}}}{2}(2),{{C}_{1}}=\frac{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot S}{{{d}_{1}}}(3),{{C}_{2}}=\frac{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot S}{{{d}_{2}}}(4), \\
 & {{W}_{1}}=\frac{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot S\cdot {{U}^{2}}}{2\cdot {{d}_{1}}}(5),{{W}_{2}}=\frac{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot S\cdot {{U}^{2}}}{2\cdot {{d}_{2}}}(5), \\
 & \Delta W={{W}_{2}}-{{W}_{1}}(6),\Delta W=\frac{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot S\cdot {{U}^{2}}}{2\cdot {{d}_{2}}}-\frac{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot S\cdot {{U}^{2}}}{2\cdot {{d}_{1}}}, \\
 & \Delta W=\frac{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot S\cdot {{U}^{2}}}{2}\cdot (\frac{1}{{{d}_{2}}}-\frac{1}{{{d}_{1}}})(6). \\
\end{align} \]

Где: ε = 1 – диэлектрическая проницаемость воздуха, ε₀ = 8,854∙10^-12 Ф/м – электрическая постоянная.
Изменение энергии конденсатора равно сумме работы источника тока А_I и механической работы по раздвижению пластин А_М.

∆W = А_М + А_I     (7).

Определим работу источника тока по перезарядке конденсатора.

\[ \begin{align}
  & {{A}_{I}}=\Delta q\cdot U\,(8),\Delta q={{q}_{2}}-{{q}_{1}}\,(9),{{q}_{2}}={{C}_{2}}\cdot U(10),{{q}_{1}}={{C}_{1}}\cdot U(10), \\
 & {{q}_{1}}=\frac{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot S}{{{d}_{1}}}\cdot U,{{q}_{2}}=\frac{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot S}{{{d}_{2}}}\cdot U,\Delta q=\frac{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot S}{{{d}_{2}}}\cdot U-\frac{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot S}{{{d}_{1}}}\cdot U, \\
 & {{A}_{I}}=(\frac{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot S}{{{d}_{2}}}\cdot U-\frac{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot S}{{{d}_{1}}}\cdot U)\cdot U,{{A}_{I}}=\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot S\cdot {{U}^{2}}\cdot (\frac{1}{{{d}_{2}}}-\frac{1}{{{d}_{1}}})(11). \\
\end{align}
 \]

(6) и (11) подставим в (7) из (7) выразим значение механической работы по раздвижению пластин.

\[ \begin{align}
  & {{A}_{M}}=\Delta W-{{A}_{I}},{{A}_{M}}=\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot S\cdot {{U}^{2}}\cdot (\frac{{{d}_{1}}-{{d}_{2}}}{{{d}_{2}}\cdot {{d}_{1}}})\cdot (-\frac{1}{2})(12). \\
 & {{A}_{M}}=1\cdot 8,85\cdot {{10}^{-12}}\cdot 100\cdot {{10}^{-4}}\cdot {{200}^{2}}\cdot (\frac{2\cdot {{10}^{-3}}-10\cdot {{10}^{-3}}}{2\cdot {{10}^{-3}}\cdot {{10}^{-2}}})\cdot (-\frac{1}{2})=1,4\cdot {{10}^{-6}}. \\
\end{align} \]

Ответ: А_М = 1,4∙10^-6 Дж.