Определить магнитный момент, обусловленный вращением диска

[Антон Огурцевич]

429. По поверхности диска радиусом R = 15 см равномерно распределён заряд Q = 0,2мкКл. Диск вращается с угловой скоростью ω = 30 рад/с относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр. Определить магнитный момент P_m, обусловленный вращением диска. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Магнитный момент P_m – это произведение силы кругового тока на обтекаемую им поверхность.
P_m  = I∙S    (1).
Выделим на диске кольцо толщиной dх и радиусом х (dх – бесконечно малая величина). Площадь этого кольца определим по формуле:
dS = 2∙π∙х∙dх     (2).
Определим заряд на этом кольце и эквивалентный ток создаваемый этим кольцом:

\[ \begin{align}
  & dQ=\frac{Q}{S}\cdot dS(3),S=\pi \cdot {{R}^{2}}(4),dQ=\frac{Q}{\pi \cdot {{R}^{2}}}\cdot 2\cdot \pi \cdot x\cdot dx(5), \\
 & dI=\frac{dQ}{T}(6),dI=\frac{Q}{\pi \cdot {{R}^{2}}\cdot T}\cdot 2\cdot \pi \cdot x\cdot dx,T=\frac{2\cdot \pi }{\omega }(6), \\
 & dI=\frac{Q}{\pi \cdot {{R}^{2}}\cdot 2\cdot \pi }\cdot 2\cdot \omega \cdot \pi \cdot x\cdot dx,dI=\frac{Q}{{{R}^{2}}\cdot \pi }\cdot \omega \cdot x\cdot dx(7). \\
\end{align} \]

Элементарный магнитный момент создаваемый кольцом определим по формуле:

\[ \begin{align}
  & d{{P}_{m}}=dI\cdot {{S}_{k}}(8\,),d{{P}_{m}}=\pi \cdot {{x}^{2}}\cdot \frac{Q}{{{R}^{2}}\cdot \pi }\cdot \omega \cdot x\cdot dx, \\
 & d{{P}_{m}}=\frac{Q}{{{R}^{2}}}\cdot \omega \cdot {{x}^{3}}\cdot dx(9). \\
\end{align} \]

Полный магнитный момент обусловленный вращением диска определим интегрированием:

\[ \begin{align}
  & {{P}_{m}}=\int\limits_{0}^{R}{d{{P}_{m}}}=\frac{Q}{{{R}^{2}}}\cdot \omega \cdot \int\limits_{0}^{R}{{{x}^{3}}\cdot dx}=\frac{Q}{{{R}^{2}}}\cdot \omega \cdot \left. \frac{{{x}^{4}}}{4} \right|_{0}^{R}=\frac{Q}{{{R}^{2}}}\cdot \omega \cdot \frac{{{R}^{4}}}{4}=Q\cdot \omega \cdot \frac{{{R}^{2}}}{4}(10). \\
 & {{P}_{m}}=0,2\cdot {{10}^{-6}}\cdot 30\cdot \frac{{{0,15}^{2}}}{4}=33,75\cdot {{10}^{-9}}. \\
\end{align}
 \]

Ответ: Р_m = 33,75∙10^-9 А∙м².