Решение.
Определим центр масс системы.
\[ m\cdot g\cdot x=m\cdot g\cdot (R-x),m\cdot g\cdot x=m\cdot g\cdot R-m\cdot g\cdot x,x=\frac{R}{2}(1). \]
Диск представляет собой физический маятник, период физического маятника определяется по формуле:
\[ T=2\cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{J}{m\cdot g\cdot (R+x)}}\ \ \ (2),\nu =\frac{1}{T}(3). \]
Где:
R + х - расстояние центра тяжести маятника до оси колебаний.
J – момент инерции диска, относительно оси колебаний (теорема Штейнера):
\[ \begin{align}
& J={{J}_{0}}+m\cdot {{(R+x)}^{2}}+m\cdot {{(R+x)}^{2}},\ {{J}_{0}}=\frac{m\cdot {{R}^{2}}}{2}\ ,\ \\
& J=\frac{m\cdot {{R}^{2}}}{2}+2\cdot m\cdot {{(R+x)}^{2}}\ \ (4). \\
\end{align} \]
Подставим (3) в (2) определим период:
\[ \begin{align}
& T=2\cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{\frac{m\cdot {{R}^{2}}}{2}+2\cdot m\cdot {{(R+x)}^{2}}}{m\cdot g\cdot (R+x)}},\ T=2\cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{\frac{{{R}^{2}}}{2}+{{(R+\frac{R}{2})}^{2}}}{g\cdot (R+\frac{R}{2})}}\ \ , \\
& T=2\cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{11\cdot R}{6\cdot g}}(5),T=2\cdot 3,14\cdot \sqrt{\frac{11\cdot 1}{6\cdot 10}}=2,69. \\
& \nu =\frac{1}{2,69}=0,37. \\
\end{align} \]
Ответ:
Т = 2,69 с, ν = 0,37 Гц.
