Репетиционное тестирование 3 этап 2016/2017

[Сергей]

В10. Вариант 1. К источнику постоянного тока с ЭДС E = 110 В подключен резистор сопротивлением R₁ = 11 Ом. К этому резистору параллельно подсоединили второй резистор сопротивлением R₂ = 25 Ом. Если при этом мощность тока во внешней цепи не изменилась, то сила тока I₀ при коротком замыкании данного источника равна … А.
Решение: Ток короткого замыкания определяется по формуле:

\[ {{I}_{0}}=\frac{\xi }{r}\ \ \ (1), \]

r – внутреннее сопротивление источника. Запишем закон Ома для полной цепи:

\[ \begin{align}
  & I=\frac{\xi }{R+r}(2),\xi ={{I}_{1}}\cdot {{R}_{1}}+{{I}_{1}}\cdot r\ \ \ (3),\ \xi ={{I}_{2}}\cdot {{R}_{12}}+{{I}_{2}}\cdot r\ \ \ (4), \\
 & {{R}_{12}}=\frac{{{R}_{1}}\cdot {{R}_{2}}}{{{R}_{1}}+{{R}_{2}}}(5),\xi ={{I}_{2}}\cdot \frac{{{R}_{1}}\cdot {{R}_{2}}}{{{R}_{1}}+{{R}_{2}}}+{{I}_{2}}\cdot r\ \ \ (5). \\
 &  \\
\end{align} \]

По условию задачи мощность тока во внешней цепи не изменилась. Мощность, которая выделяется в проводнике, определим по формуле.

\[ \begin{align}
  & P={{I}^{2}}\cdot R(6),{{P}_{1}}=I_{1}^{2}\cdot {{R}_{1}},{{P}_{2}}=I_{2}^{2}\cdot {{R}_{12}},{{P}_{1}}={{P}_{2}}, \\
 & I_{1}^{2}\cdot {{R}_{1}}=I_{2}^{2}\cdot {{R}_{12}},I_{2}^{2}=\frac{I_{1}^{2}\cdot {{R}_{1}}}{{{R}_{12}}},{{I}_{2}}={{I}_{1}}\cdot \sqrt{\frac{{{R}_{1}}}{{{R}_{12}}}}(7). \\
\end{align}
 \]

(7) подставим в (5) и решим систему уравнения (3) и (5) определим внутреннее сопротивление.

\[ \begin{align}
  & {{I}_{1}}\cdot \sqrt{\frac{{{R}_{1}}\cdot ({{R}_{1}}+{{R}_{2}})}{{{R}_{1}}\cdot {{R}_{2}}}}\cdot \frac{{{R}_{1}}\cdot {{R}_{2}}}{{{R}_{1}}+{{R}_{2}}}+{{I}_{1}}\cdot \sqrt{\frac{{{R}_{1}}\cdot ({{R}_{1}}+{{R}_{2}})}{{{R}_{1}}\cdot {{R}_{2}}}}\cdot r={{I}_{1}}\cdot {{R}_{1}}+{{I}_{1}}\cdot r\ , \\
 & \sqrt{\frac{({{R}_{1}}+{{R}_{2}})}{{{R}_{2}}}}\cdot \frac{{{R}_{1}}\cdot {{R}_{2}}}{{{R}_{1}}+{{R}_{2}}}+\sqrt{\frac{({{R}_{1}}+{{R}_{2}})}{{{R}_{2}}}}\cdot r={{R}_{1}}+r\ , \\
 & \sqrt{\frac{({{R}_{1}}+{{R}_{2}})}{{{R}_{2}}}}\cdot r-r={{R}_{1}}-\sqrt{\frac{({{R}_{1}}+{{R}_{2}})}{{{R}_{2}}}}\cdot \frac{{{R}_{1}}\cdot {{R}_{2}}}{{{R}_{1}}+{{R}_{2}}}, \\
 & r=\frac{{{R}_{1}}-\sqrt{\frac{({{R}_{1}}+{{R}_{2}})}{{{R}_{2}}}\cdot {{(\frac{{{R}_{1}}\cdot {{R}_{2}}}{{{R}_{1}}+{{R}_{2}}})}^{2}}}}{\sqrt{\frac{({{R}_{1}}+{{R}_{2}})}{{{R}_{2}}}}-1}=\frac{{{R}_{1}}-\sqrt{\frac{R_{1}^{2}\cdot {{R}_{2}}}{{{R}_{1}}+{{R}_{2}}}}}{\sqrt{\frac{({{R}_{1}}+{{R}_{2}})}{{{R}_{2}}}}-1}, \\
\end{align} \]

По формуле (1) определим ток короткого замыкания.

\[ {{I}_{0}}=\frac{\xi }{{{R}_{1}}-\sqrt{\frac{R_{1}^{2}\cdot {{R}_{2}}}{{{R}_{1}}+{{R}_{2}}}}}\cdot (\sqrt{\frac{({{R}_{1}}+{{R}_{2}})}{{{R}_{2}}}}-1),{{I}_{0}}=\frac{110}{11-\sqrt{\frac{{{11}^{2}}\cdot 25}{25+11}}}\cdot (\sqrt{\frac{11+25}{25}}-1)=12. \]

Ответ: 12 А.

[Сергей]

В11. Вариант 1. Если по международному соглашению частота радиоволн сигнала бедствия, который морские суда, ν = 500 кГц, то длина λ этой радиоволны равна … м.
Решение.
Длину волны определим по формуле:

\[ \lambda =\frac{c}{\nu }(1),\lambda =\frac{3\cdot {{10}^{8}}}{500\cdot {{10}^{3}}}=600. \]

Ответ: 600 м.

[Сергей]

В12. Вариант 1. Маленький шарик, масса которого m = 60,0 г, а электрический заряд q₁ = 2,00 мкКл, подвешен на легкой непроводящей нерастяжимой нити длиной l = 30,0 см. Ниже, на одной вертикали с ним, на расстоянии а = 20,0 см закреплен маленький шарик, заряд которого q₂ = -3,00 мкКл. Нить с шариком отклонили от вертикали на угол α = 45º и отпустили. В момент прохождения положения равновесия кинетическая энергия Е_к шарика равна … мДж.
Решение.Покажем рисунок. Для нахождения кинетической энергии применим закон сохранения энергии. Кинетическую энергию определим по формуле.

\[ m\cdot g\cdot h+\frac{k\cdot {{q}_{1}}\cdot {{q}_{2}}}{{{r}_{1}}}={{E}_{k}}+\frac{k\cdot {{q}_{1}}\cdot {{q}_{2}}}{a},{{E}_{k}}=m\cdot g\cdot h+\frac{k\cdot {{q}_{1}}\cdot {{q}_{2}}}{{{r}_{1}}}-\frac{k\cdot {{q}_{1}}\cdot {{q}_{2}}}{a}(1). \]

Определим высоту отклонения шарика и расстояние между зарядами в момент отклонения от вертикали.

\[ \begin{align}
  & \cos \alpha =\frac{l-h}{l},l-h=l\cdot \cos \alpha ,\,h=l\cdot (1-\cos \alpha )(2). \\
 & b=l\cdot \sin \alpha (3),{{r}_{1}}=\sqrt{{{b}^{2}}+{{(h+a)}^{2}}},{{r}_{1}}=\sqrt{{{(l\cdot \sin \alpha )}^{2}}+{{((l\cdot (1-\cos \alpha ))+a)}^{2}}}(4). \\
 & {{E}_{K}}=m\cdot g\cdot (l\cdot (1-\cos \alpha ))+\frac{k\cdot {{q}_{1}}\cdot {{q}_{2}}}{\sqrt{{{(l\cdot \sin \alpha )}^{2}}+{{((l\cdot (1-\cos \alpha ))+a)}^{2}}}}-\frac{k\cdot {{q}_{1}}\cdot {{q}_{2}}}{a}, \\
 & {{E}_{K}}=m\cdot g\cdot (l\cdot (1-\cos \alpha ))+k\cdot {{q}_{1}}\cdot {{q}_{2}}\cdot (\frac{1}{\sqrt{{{(l\cdot \sin \alpha )}^{2}}+{{((l\cdot (1-\cos \alpha ))+a)}^{2}}}}-\frac{1}{a})\,\,(5). \\
\end{align} \]

\[ \begin{align}
  & {{E}_{K}}=60\cdot {{10}^{-3}}\cdot 10\cdot (0,3\cdot (1-\frac{\sqrt{2}}{2}))+9\cdot {{10}^{9}}\cdot 2,00\cdot {{10}^{-6}}\cdot (-3,00\cdot {{10}^{-6}})\cdot  \\
 & \cdot (\frac{1}{\sqrt{{{(0,3\cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}+{{((0,3\cdot (1-\frac{\sqrt{2}}{2}))+0,2)}^{2}}}}-\frac{1}{0,2})=0,172. \\
\end{align} \]

Ответ: 172 мДж.

[Сергей]

А1. Вариант 1. Если движение тела вдоль оси Ох описывается уравнением х = А + В∙t, где А = 6 м, В = 2,0 м/с, то проекция ускорения а_х тела на эту ось равна:
1) 8 м/с²; 2) 6 м/с²; 3) 4 м/с²; 4) 2 м/с²; 5) 0 м/с².
Решение.
Уравнение вида х = х₀ + υ∙t соответствует уравнению координаты при равномерном прямолинейном движении. При равномерном прямолинейном движении скорость тела не изменяется, ускорение равно ноль.
Ответ: 5) 0 м/с².

[Сергей]

А2. Вариант 1. На рисунке 1 показаны положения и скорости маленьких частиц в некоторый момент времени. Скорости частиц изображены в одинаковом масштабе. Если все частицы движутся равномерно и прямолинейно, то с частицей А столкнется частица, обозначенная цифрой:
1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4; 5) 5.
Решение. Расстояние до линии траектории частицы А от частиц 1 – 5 одно и то же (рис. 2). Каждой частицы для этого понадобится одно и то же время t₁ (так как у них равные скорости).
Частица А за время t₁ достигнет только точки В (сравните расстояния и скорости частиц).
Ответ: 5) 5.

[Сергей]

А3. Вариант 1. Материальная точка движется равноускоренно в положительном направлении оси Ох и за промежуток времени ∆t = 10 с проходит путь s = 30 м. Если проекция ускорения точки а_х = 0,4 м/с², то модуль конечной скорости υ материальной точки больше модуля её начальной скорости υ₀ в:
1) 2 раза; 2) 3 раза; 3) 4 раза; 4) 5 раз; 5) 6 раз.
Решение.
Материальная точка движется равноускоренно в положительном направлении оси Ох, направление скорости точки совпадает с направлением ускорения. Определим начальную скорость точки:

\[ \begin{align}
  & s={{\upsilon }_{0}}\cdot t+\frac{a\cdot {{t}^{2}}}{2},{{\upsilon }_{0}}\cdot t=s-\frac{a\cdot {{t}^{2}}}{2},{{\upsilon }_{0}}=\frac{s-\frac{a\cdot {{t}^{2}}}{2}}{t},{{\upsilon }_{0}}=\frac{s}{t}-\frac{a\cdot t}{2}\,(1). \\
 & {{\upsilon }_{0}}=\frac{30}{10}-\frac{0,4\cdot 10}{2}=1. \\
\end{align} \]

Определим конечную скорость точки:

\[ \upsilon ={{\upsilon }_{0}}+a\cdot t\,(2).\upsilon =1+0,4\cdot 10=5. \]

Определим отношение модуля конечной скорости υ материальной точки к модулю её начальной скорости:

\[ \frac{\upsilon }{{{\upsilon }_{0}}}=\frac{5}{1}=5. \]

Ответ: 4) 5 раз.

[Сергей]

А4. Вариант 1. При равномерном прямолинейном движении трактора его переднее колесо за промежуток времени ∆t₁ = 1,0 с совершает N = 5 оборотов. Диаметр колеса d = 1,2 м. Путь s, пройденный трактором за промежуток времени ∆t₂ = 5,0 мин, равен:
1) 8,8 км; 2) 5,7 км; 3) 4,4 км; 4) 2,7 км; 5) 1,9 км.
Решение.
Трактор совершает перемещение в пространстве относительно других тел со скоростью равной скорости вращения обода переднего колеса. Определим скорость вращения точки лежащей на ободе колеса. Точка движется по окружности.

\[ \upsilon =\frac{2\cdot \pi \cdot R}{T}(1),T=\frac{\Delta {{t}_{1}}}{N}(2),R=\frac{d}{2}(3),\upsilon =\frac{2\cdot \pi \cdot \frac{d}{2}\cdot N}{\Delta {{t}_{1}}},\upsilon =\frac{\pi \cdot d\cdot N}{\Delta {{t}_{1}}}(4). \]

Трактор движется прямолинейно и равномерно, определим путь пройденный трактором.

\[ s=\upsilon \cdot {{t}_{2}}(5),s=\frac{\pi \cdot d\cdot N}{\Delta {{t}_{1}}}\cdot \Delta {{t}_{2}}(6).s=\frac{3,14\cdot 1,2\cdot 5}{1,0}\cdot 5\cdot 60=5652. \]

Ответ: 2) 5,7 км.

[Сергей]

А5. Вариант 1. Тело массой m = 2,0 кг движется под действием нескольких сил вдоль оси Ох. Если движение тела описывается уравнением х = А + В∙t + С∙t², А = 3,0 м, В = 2,0 м/с, С = -2,0 м/с², то проекция на ось Ох равнодействующих всех сил, приложенных к телу, F_х равна:
1) -8,0 Н; 2) -4,0 Н; 3) 2,0 Н; 4) 4,0 Н; 5) 8,0 Н.
Решение.
Для определения равнодействующей силы запишем второй закон Ньютона:

F = m∙а   (1).

Запишем кинематический закон движения тела и определим ускорение с которым движется тело.

\[ \begin{align}
  & x=A+B\cdot t\text{ }+C\cdot {{t}^{2}},x=\text{3}\text{,0}+\text{2}\text{,0}\cdot t\text{- 2}\text{,0}\cdot {{t}^{2}}, \\
 & \text{ }x={{x}_{0}}+{{\upsilon }_{0}}\cdot t+\frac{a\cdot {{t}^{2}}}{2}.\frac{a}{2}=-2,a=-4. \\
\end{align}
 \]

Зная ускорение определим равнодействующую силу:

F =2,0 кг∙(-4,0 м/с²) = -8,0 Н.

Ответ: 1) – 8,0 Н.

[Сергей]

А6. Вариант 1.Полый медный (ρ_м = 8,9 г/см³) шар с толщиной стенки d полностью погружен в глицерин (ρ_гл = 1,26 г/см³). Наружный радиус шара R = 41 см. Если шар находится в равновесии, то толщина его стенки равна:
(Примечание. Массой газа внутри шара пренебречь.)
1) 1,4 см; 2) 2,0 см; 3) 2,7 см; 4) 3,6 см; 5) 5,0 см.
Решение.
Шар погружен в глицерин, находится в равновесии. На шар действует Архимедова сила со стороны глицерина и сила тяжести. Шар находится в равновесии, равнодействующая сил равна нулю.

\[ \begin{align}
  & {{F}_{A}}=m\cdot g(1),{{\rho }_{2}}\cdot g\cdot V=m\cdot g(2),V=\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot {{R}^{3}}(3), \\
 & m={{\rho }_{2}}\cdot \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot {{R}^{3}}(4),{{V}_{M}}=\frac{m}{{{\rho }_{M}}}(5),{{V}_{M}}=\frac{{{\rho }_{\Gamma }}\cdot \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot {{R}^{3}}}{{{\rho }_{M}}}, \\
 & {{V}_{M}}=\frac{{{\rho }_{2}}\cdot 4}{{{\rho }_{M}}\cdot 3}\cdot \pi \cdot {{R}^{3}}(6),S=4\cdot \pi \cdot {{R}^{2}}(7),d=\frac{{{V}_{M}}}{S}(8), \\
 & d=\frac{{{\rho }_{2}}\cdot 4}{{{\rho }_{M}}\cdot 3}\cdot \pi \cdot {{R}^{3}}\cdot \frac{1}{4\cdot \pi \cdot {{R}^{2}}},d=\frac{{{\rho }_{2}}\cdot R}{{{\rho }_{M}}\cdot 3}(9), \\
 & d=\frac{1,26\cdot {{10}^{3}}\cdot 0,41}{8,9\cdot {{10}^{3}}\cdot 3}=0,0193. \\
\end{align} \]

S – площадь внешней поверхности шара. R >> d.
d ≈ 2 см.
Ответ: 2) 2 см.

\[ \begin{align}
  & {{F}_{A}}=m\cdot g(1),{{\rho }_{2}}\cdot g\cdot V={{\rho }_{M}}\cdot {{V}_{M}}\cdot g(2),{{V}_{M}}=V-{{V}_{P}}(3),V=\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot {{R}^{3}}\,(4), \\
 & {{V}_{P}}=\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot {{r}^{3}}\,(5),{{\rho }_{2}}\cdot g\cdot V={{\rho }_{M}}\cdot (V-{{V}_{P}})\cdot g,{{\rho }_{2}}\cdot V={{\rho }_{M}}\cdot V-{{\rho }_{M}}\cdot {{V}_{P}}, \\
 & {{V}_{P}}=\frac{V\cdot ({{\rho }_{M}}-{{\rho }_{2}})}{{{\rho }_{M}}},\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot {{r}^{3}}=\frac{\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot {{R}^{3}}\cdot ({{\rho }_{M}}-{{\rho }_{2}})}{{{\rho }_{M}}},{{r}^{3}}=\frac{{{R}^{3}}\cdot ({{\rho }_{M}}-{{\rho }_{2}})}{{{\rho }_{M}}}, \\
 & d=R-r,d=R-R\cdot \sqrt[3]{\frac{({{\rho }_{M}}-{{\rho }_{2}})}{{{\rho }_{M}}}},d=R\cdot (1-\sqrt[3]{\frac{({{\rho }_{M}}-{{\rho }_{2}})}{{{\rho }_{M}}}}). \\
 & d=0,41\cdot (1-\sqrt[3]{\frac{(8,9-1,26)}{8,9}})=0,41\cdot (1-0,9503883)=0,02. \\
\end{align} \]

Нужно извлечь корень третей степени.
Ответ: 2) 2 см.

[Сергей]

А7. Вариант 1. Если зависимость объема V идеального газа, количество вещества которого постоянно, от его температуры Т имеет вид V = α∙Т, где α — постоянный коэффициент, то такой процесс является:
1) изобарным; 2) изотермическим; 3) изохорным; 4) адиабатным;
5) невозможным.
Решение. Запишем уравнение Клапейрона Менделеева.

\[ p\cdot V=\frac{m}{M}\cdot R\cdot T,\frac{V}{T}=\frac{\frac{m}{M}\cdot R}{p},\frac{V}{T}=\alpha .
 \]

Процесс происходит при постоянном давлении.
Ответ: 1) изобарный.