Определите к концу второй секунды после начала движения

[Антон Огурцевич]

6. Диск вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задаётся уравнением φ = A∙t² (А = 0,5 рад/с²). Определите к концу второй секунды после начала движения: 1) угловую скорость диска; 2) угловое ускорение диска; 3) для точки, находящейся на расстоянии 80 см от оси вращения, тангенциальное ускорение a_τ, нормальное ускорение a_n и полное ускорение a. Сделать рисунок.

[Эдуард]

t= 2c.
Первая производная от углового перемещения есть угловая скорость:
\[ \begin{align}
  & \omega (t)=\varphi (t)\prime =2\cdot A\cdot t. \\
 & \omega =2\cdot 0,5\cdot 2=2\frac{рад}{с}. \\
\end{align}  \]
Первая производная от угловой скорости есть угловое ускорение:
\[ \begin{align}
  & \varepsilon (t)=\omega (t)\prime =2\cdot A. \\
 & \varepsilon =2\cdot 0,5=1\frac{рад}{{{с}^{2}}}. \\
\end{align} \]
Тангенциальное ускорение найдем как первую производную от υ по t:
\[ \begin{align}
  & \upsilon =\omega r, \\
 & {{a}_{\tau }}=\upsilon (t)\prime =2Ar, \\
 & {{a}_{\tau }}=2\cdot 0,5\cdot 0,8=0,8\frac{м}{{{с}^{2}}}. \\
\end{align} \]
Нормальное ускорение определим по формуле:
\[ \begin{align}
  & {{a}_{n}}=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{r}={{\omega }^{2}}r=4{{A}^{2}}r{{t}^{2}}, \\
 & {{a}_{n}}=4\cdot {{0,5}^{2}}\cdot 0,8\cdot {{2}^{2}}=3,2\frac{м}{{{с}^{2}}}. \\
\end{align}  \]
Полное ускорение определим по формуле:
\[ \begin{align}
  & a=\sqrt{a_{\tau }^{2}+a_{n}^{2}}, \\
 & a=\sqrt{{{0,8}^{2}}+{{3,2}^{2}}}=3,3\frac{м}{{{с}^{2}}}. \\
\end{align}  \]
Ответ: 2 рад/с, 1 рад/с², 0,8 м/с² , 3,2 м/с², 3,3 м/с².