Определите скорость, ускорение и модуль скорости в момент времени

[Антон Огурцевич]

11. Радиус-вектор материальной точки изменяется со временем по закону r = 4∙t²∙i + 3∙t∙j + 2∙k. Определите: 1) скорость v; 2) ускорение a; 3) модуль скорости в момент времени t = 2 с. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
По условию задачи задана вектор функция r(t).

r = 4∙t²∙i + 3∙t∙j + 2∙k.

Скорость выразим как первую производную от r по t:

\[ \begin{align}
  & \upsilon (t)=r(t)'=8\cdot t\cdot i+3\cdot j+0\cdot k. \\
 & {{\upsilon }_{x}}=8\cdot t,\ {{\upsilon }_{y}}=3,{{\upsilon }_{Z}}=0. \\
 & \upsilon (t)=\sqrt{\upsilon _{x}^{2}+\upsilon _{y}^{2}+\upsilon _{z}^{2}},\ \upsilon (t)=\sqrt{{{(8\cdot t)}^{2}}+{{(3)}^{2}}+0}=\sqrt{64\cdot {{t}^{2}}+9}. \\
 & t=2.\,\upsilon (2)=\sqrt{64\cdot 4+9}=16,3. \\
\end{align} \]

Ускорение вторая производная от r по t:

\[ \begin{align}
  & a(t)=r(t)''=8\cdot i+0\cdot j+0\cdot k. \\
 & {{a}_{x}}=8,\ {{a}_{y}}=0,{{a}_{z}}=0. \\
 & a(t)=\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}},\ a(t)=\sqrt{{{(8)}^{2}}+0+0}=8. \\
 & t=2.a(2)=8. \\
\end{align}
 \]

Тело движется с постоянным ускорением.
Ответ: υ(2) = 16,3 м/с, а = 8 м/с².