Начертить графики зависимостей напряжённости и потенциала поля

[Антон Огурцевич]

65. Металлический шар радиусом R₁ = 0,1 м, имеющий заряд Q₁ = 8∙10^-8 Кл, окружён диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε = 2. Диэлектрик простирается до сферы радиусом R₂ = 0,2 м, концентрической с шаром. Начертить графики зависимостей напряжённости Е(r) и потенциала φ(r) поля, где r — расстояние от центра шара. Сделать рисунок.

[Gala]

 Для определения напряженности воспользуемся теоремой Остроградского–Гаусса: поток вектора напряженности электрического поля в вакууме через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности, деленной на  ε₀.
 Для построения графиков находим напряженность и потенциал электрического поля в точках, которые лежат в двух областях: области I (r₁ < R₁), области II (R₁ < r₂ < R₂). Для определения напряженности Е₁ в области I проведем гауссову поверхность S₁ в форме сферы радиусом r₁.
Cуммарный заряд, находящийся внутри поверхности S₁, равен нулю. Из соображений симметрии E_n = const.
Обозначив напряженность для области I через Е₁, имеем
\[{E_1}\oint\limits_{{S_1}} {dS}  = 0\]
и Е₁ (напряженность поля, во всех точках, удовлетворяющих условию r₁ < R₁) будет равна нулю. E₁=0.
   В области II гауссову поверхность S₂ проведем радиусом r₂. В этом случае внутри гауссовой поверхности находится заряд Q. Следовательно, \[\oint\limits_{{S_2}} {{E_n}dS = \frac{Q}{{\varepsilon {\varepsilon _0}}}} .\]
Обозначив напряженность для области II через Е₂ и учитывая, что Е_n = const, получим
\[{E_2}\oint\limits_{{S_2}} {dS}  = \frac{Q}{{\varepsilon {\varepsilon _0}}}\]
где \[{S_2} = 4\pi r_2^2\] – площадь гауссовой поверхности. Тогда\[{E_2} \cdot 4\pi r_2^2 = \frac{Q}{{{\varepsilon _0}}}.\] E₂ будет равна \[{E_2} = \frac{Q}{{4\pi \varepsilon {\varepsilon _0}r_2^2}}\]
\[{Е_2} = \frac{{8 \cdot {{10}^{ - 5}}}}{{4\pi  \cdot 8,85 \cdot {{10}^{ - 12}}/ \ 2 \cdot {{\left( {0,1\,} \right)}^2}}} = 36 \cdot {10^6} В/м.\]
Для нахождения потенциала воспользуемся связью между потенциалом и напряженностью
\[E =  - \frac{{d\varphi }}{{dr}} \Rightarrow \varphi  = \frac{Q}{{4\pi {\varepsilon _0}r}}\;\;{\rm{ }}r = R \Rightarrow \]
\[{\varphi _1} = \frac{Q}{{4\pi {\varepsilon _0}{R_1}}} = \frac{{8 \cdot {{10}^{ - 5}}}}{{4\pi  \cdot 8,85 \cdot {{10}^{ - 12}}/ \cdot 0,1\,}} = 72 \cdot {10^5} В\;.\]
\[{\varphi _2} = \frac{Q}{{4\pi {\varepsilon _0}{R_2}}} = \frac{{8 \cdot {{10}^{ - 5}}}}{{4\pi  \cdot 8,85 \cdot {{10}^{ - 12}}/ \cdot 0,2\,}} =36 \cdot {10^5} В\;.\]