Найти ускорение груза

[Антон Огурцевич]

128. На барабан массой m = 12 кг намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m₁ = 3 кг. Найти ускорение груза. Барабан считать однородным цилиндром. Трением пренебречь. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Покажем силы которые действуют на груз и ускорение. Применим второй закон Ньютона

\[ \vec{F}={{m}_{1}}\cdot \vec{a}.{{\vec{F}}_{H}}+{{m}_{1}}\cdot \vec{g}={{m}_{1}}\cdot \vec{a}.\,Oy:\,{{m}_{1}}\cdot g-{{F}_{H}}={{m}_{1}}\cdot a,{{F}_{H}}={{m}_{1}}\cdot g-{{m}_{1}}\cdot a(1). \]

Рассмотрим барабан. Барабан вращается вокруг своей оси, возникает крутящий момент который равен произведению силы которая действует на барабан на радиус барабана

М = F_H∙R   (2).

Барабан вращается с угловым ускорением, уравнение динамики вращательного движения имеет вид

М = J∙ε   (3).

Где: J – момент инерции цилиндра, ε – угловое ускорение цилиндра.
Момент инерции цилиндра определяется по формуле

\[ J=\frac{m\cdot {{R}^{2}}}{2}\ \ \ (4). \]

Ускорение с которым движется груз, равно тангенциальному ускорению цилиндра, выразим угловое ускорение цилиндра через ускорение груза

\[ \varepsilon =\frac{a}{R}(5). \]

(5) и (4) подставим в (3), (3) подставим в (2) выразим силу натяжения нити, и силу натяжения нити подставим в (1) определим ускорение груза

\[ \begin{align}
  & M=\frac{m\cdot {{R}^{2}}}{2}\cdot \frac{a}{R},\frac{m\cdot {{R}^{2}}}{2}\cdot \frac{a}{R}={{F}_{H}}\cdot R,{{F}_{H}}=\frac{m\cdot a}{2},\frac{m\cdot a}{2}={{m}_{1}}\cdot g-{{m}_{1}}\cdot a, \\
 & \frac{m\cdot a}{2}+{{m}_{1}}\cdot a={{m}_{1}}\cdot g,a\cdot (\frac{m}{2}+{{m}_{1}})={{m}_{1}}\cdot g,a=\frac{{{m}_{1}}\cdot g}{\frac{m}{2}+{{m}_{1}}}=\frac{2\cdot {{m}_{1}}\cdot g}{m+2\cdot {{m}_{1}}}. \\
 & a=\frac{2\cdot 3\cdot 10}{12+2\cdot 3}=3,33. \\
\end{align} \]

Ответ: 3,33 м/с².