Найти термический к. п. д. цикла

[Антон Огурцевич]

Найти термический к. п. д. цикла, изображённого на рис. 56. Пользоваться при выводе следующими обозначениями: v₁/v₂ = ε; р₃/р₂ = λ; v₄/v₃ = ρ; v₅/v₄ = δ. Теплоёмкость принять постоянной. Сделать рисунок.
\[ {\eta}_{t}={1-\frac{1}{{\varepsilon}^{k-1}}}\cdot{\frac{{\lambda}\cdot{\rho}\cdot{{\delta}^{1-k}}+{\rho}\cdot{\delta}\cdot{(k-1)}-{k}\cdot{\varepsilon}}{{\lambda}-1+{k}\cdot{\lambda}\cdot{(\rho-1)}}} \]

[Gala]

Термический КПД \[ \begin{gathered}
  \eta  = 1 - \frac{{{Q_2}}}{{{Q_1}}} \hfill \\
  {Q_1} = {Q_{23}} + {Q_{34}} \hfill \\
  {Q_2} = {Q_{51}}. \hfill \\
\end{gathered} \]
 
Количество теплоты, переданное системе, расходуется на совершение работы и изменение внутренней энергии: \[ Q = A + \Delta U. \]
На участке 2-3 изохорно подводится теплота, следовательно, работа равна нулю и  \[ {Q_{23}} = \Delta {U_{23}} = {C_V}\left( {{T_3} - {T_2}} \right). \]
На участке 3-4 теплота подводится изобарно: \[ {Q_{34}} = {C_p}\left( {{T_4} - {T_3}} \right),\;{C_p} = k \cdot {C_V} \Rightarrow {Q_{34}} = k \cdot {C_V}\left( {{T_4} - {T_3}} \right). \]
На участке 5-1 теплота отводится изохорно: \[ {Q_{51}} = {C_V}\left( {{T_1} - {T_5}} \right). \]
На участках 1-2 и 4-5 теплота не подводится и не отводится, это участки адиабатического сжатия и расширения соответственно.
Параметрами цикла являются:
Степень сжатия  ε = V₁/V₂
Степень изохорного повышения давления  λ = p₃/p₂
Степень изобарного расширения  ρ = V₄/V₃
Степень расширения  δ = V₅/V₄.
\[ \eta  = 1 - \frac{{{Q_{51}}}}{{{Q_{23}} + {Q_{34}}}} = 1 - \frac{{{C_V}\left( {{T_1} - {T_5}} \right)}}{{{C_V}\left( {{T_3} - {T_2}} \right) + k \cdot {C_V}\left( {{T_4} - {T_3}} \right)}}. \]
Для определения температур, рассмотрим все участки  цикла.
1-2 - адиабатическое сжатие:
\[\begin{gathered}
  \frac{{{p_2}}}{{{p_1}}} = {\left( {\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}} \right)^k} = {\varepsilon ^k} \Rightarrow {p_2} = {p_1} \cdot {\varepsilon ^k}, \hfill \\
  \frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} = {\left( {\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}} \right)^{k - 1}} = {\varepsilon ^{k - 1}} \Rightarrow \boxed{{T_2} = {T_1} \cdot {\varepsilon ^{k - 1}}}. \hfill \\
\end{gathered} \]
2-3 – изохорный процесс:
\[ \begin{gathered}
  \frac{{{p_3}}}{{{p_2}}} = \lambda \;\;{p_3} = \lambda  \cdot {p_2}\;\; \Rightarrow {p_3} = {p_1} \cdot \lambda  \cdot {\varepsilon ^k} \hfill \\
  \frac{{{T_3}}}{{{T_2}}} = \frac{{{p_3}}}{{{p_2}}} = \lambda ,\;{T_3} = {T_2} \cdot \lambda  \Rightarrow \boxed{{T_3} = \lambda  \cdot {\varepsilon ^{k - 1}} \cdot {T_1}} \hfill \\
\end{gathered}  \]
3-4 – изобарный процесс:
\[ \begin{gathered}
  {p_4} = {p_3},\;{p_4} = {p_1} \cdot \lambda  \cdot {\varepsilon ^k} \hfill \\
  \frac{{{T_4}}}{{{T_3}}} = \frac{{{V_4}}}{{{V_3}}} = \rho ,\;{T_4} = {T_3} \cdot \rho  \Rightarrow \boxed{{T_4} = \rho  \cdot \lambda  \cdot {\varepsilon ^{k - 1}} \cdot {T_1}}. \hfill \\
\end{gathered}  \]
4-5 адиабатный процесс:
\[ \begin{gathered}
  \frac{{{p_5}}}{{{p_4}}} = {\left( {\frac{{{V_4}}}{{{V_5}}}} \right)^k} = {\left( {\frac{1}{\sigma }} \right)^k} = {\sigma ^{k - 1}} \hfill \\
  {T_4}{V_4}^{k - 1} = {T_5}{V_5}^{k - 1} \hfill \\
  \frac{{{T_5}}}{{{T_4}}} = {\left( {\frac{{{V_4}}}{{{V_5}}}} \right)^{k - 1}} = \;{\left( {\frac{{{V_4}}}{{{V_5}}} \cdot \frac{{{V_2}}}{{{V_2}}}} \right)^{k - 1}},\;{V_5} = {V_1} \Rightarrow \frac{{{T_5}}}{{{T_4}}} = {\left( {\frac{{{V_4}}}{{{V_1}}} \cdot \frac{{{V_2}}}{{{V_2}}}} \right)^{k - 1}} \hfill \\
  \frac{{{V_4}}}{{{V_1}}} = \rho ,\;\frac{{{V_2}}}{{{V_1}}} = \frac{1}{\varepsilon } \Rightarrow \frac{{{T_5}}}{{{T_4}}} = \frac{{{\rho ^{k - 1}}}}{{{\varepsilon ^{k - 1}}}},\;{T_5} = {T_4} \cdot \frac{{{\rho ^{k - 1}}}}{{{\varepsilon ^{k - 1}}}} = {T_1} \cdot \rho  \cdot \lambda  \cdot {\varepsilon ^{k - 1}} \cdot \frac{{{\rho ^{k - 1}}}}{{{\varepsilon ^{k - 1}}}} \Rightarrow \boxed{{T_5} = {\rho ^k} \cdot \lambda  \cdot {T_1}} \hfill \\
\end{gathered} \]
Подставляем значения температур в формулу КПД:
\[\begin{gathered}
  \eta  = 1 - \frac{{{C_V}\left( {{T_5} - {T_1}} \right)}}{{{C_V}\left( {{T_3} - {T_2}} \right) + k \cdot {C_V}\left( {{T_4} - {T_3}} \right)}} =  \hfill \\
   = 1 - \frac{{{T_5} - {T_1}}}{{{T_3} - {T_2} + k \cdot \left( {{T_4} - {T_3}} \right)}} =  \hfill \\
   = 1 - \frac{{{\rho ^k} \cdot \lambda  \cdot {T_1} - {T_1}}}{{\lambda  \cdot {\varepsilon ^{k - 1}} \cdot {T_1} - {\varepsilon ^{k - 1}} \cdot {T_1} + k\left( {\rho  \cdot \lambda  \cdot {\varepsilon ^{k - 1}} \cdot {T_1} - \lambda  \cdot {\varepsilon ^{k - 1}} \cdot {T_1}} \right)}} =  \hfill \\
   = 1 - \frac{{{\rho ^k} \cdot \lambda  - 1}}{{\lambda  \cdot {\varepsilon ^{k - 1}} - {\varepsilon ^{k - 1}} + k\left( {\rho  \cdot \lambda  \cdot {\varepsilon ^{k - 1}} - \lambda  \cdot {\varepsilon ^{k - 1}}} \right)}} =  \hfill \\
   = 1 - \frac{{{\rho ^k} \cdot \lambda  - 1}}{{\lambda  \cdot {\varepsilon ^{k - 1}} - {\varepsilon ^{k - 1}} + k\rho  \cdot \lambda  \cdot {\varepsilon ^{k - 1}} - k\lambda  \cdot {\varepsilon ^{k - 1}}}} =  \hfill \\
   = 1 - \frac{1}{{{\varepsilon ^{k - 1}}}}\frac{{{\rho ^k} \cdot \lambda  - 1}}{{\lambda  - 1 + k\lambda \left( {\rho  - 1} \right)}}. \hfill \\
\end{gathered} \]

[Антон Огурцевич]

Галина в этой задаче по термодинамике не всё учтено, поэтому ответ получается неполный) Есть ещё участок со степенью расширения v₅/v₄ = δ
Весь процесс деятельности дизельного двигателя можно разделить на четыре взаимосвязанных этапа (четырёхтактная система): этап впрыска (впуска), этап сжатия, этап расширения (его еще называют «рабочий ход»), этап выпуска отработанного газа. Повторение, раз за разом, такого цикла обеспечивает движение автомобиля.

[Gala]

учтено. 4-5 адиабатный процесс