С какой высоты?

[Антон Огурцевич]

67. С вершины идеально гладкой сферы соскальзывает небольшой груз. С какой высоты, считая от вершины, груз сорвётся со сферы? Радиус сферы 90 см. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение. Покажем рисунок. Запишем закон сохранения энергии для пунктов 1 и 2.

\[ m\cdot g\cdot h=\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2},\ g\cdot h=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{2}\ \ \ \ (1). \]

В пункте 2 тело оторвется от поверхности сферы, в этом пункте сила реакции опоры равна нулю. Покажем силы, которые действуют на тело и ускорение в пункте 2, выберем ось Оy, как показано на рисунке. Применим второй закон Ньютона, найдем проекции на ось Оy.

\[ \begin{align}
  & \vec{F}=m\cdot \vec{a},\ m\cdot \vec{g}=m\cdot \vec{a},\ Oy:\ m\cdot g\cdot \cos \alpha =m\cdot a, \\
 & g\cdot \cos \alpha =a,\ a=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{R},\ g\cdot \cos \alpha =\frac{{{\upsilon }^{2}}}{R}\ \ \ (2). \\
 & \cos \alpha =\frac{R-h}{R}\ \ \ (3). \\
\end{align} \]

(3) подставим в (2) из (2) выразим υ² и υ² подставим в (1) выразим высоту считая от вершины полусферы

\[ \begin{align}
  & \frac{g\cdot (R-h)}{R}=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{R},\ {{\upsilon }^{2}}=g\cdot (R-h),\ g\cdot h=\frac{g\cdot (R-h)}{2},2\cdot g\cdot h=g\cdot (R-h), \\
 & 3\cdot h=R,h=\frac{R}{3}.h=\frac{90}{3}=30. \\
\end{align} \]

Ответ: 30 см.